Ассоциированные и простые элементы кольца.

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1625820 писал(а):

Нужна математическая сущность явления, а не ваши ссылки на определения.

математическая сучность - есть ... называется простый идеалы... изучайте да обрящете

[iifat]

pppppppo_98 в сообщении #1625823 писал(а):

вам в помощь

У вас там закрывающая скобка не туда вылезла, из-за чего ссылка, соответственно, ведёт не туда. Надо вот так.

[mathematician123]

StepV в сообщении #1625820 писал(а):

Вопрос в том и состоит, что существуют ли ассоциированные и простые элементы у нецелостного кольца в соответствии с этими определениями, если из них изымается слово целостный.

StepV в сообщении #1625774 писал(а):

Элементы $a$ и $b$ целостного кольца называются ассоциированными (обозначение: $ a \sim b$, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
1) $ b | a $ и $ a | b $
2) $a=cb$, где $c$ —обратимый элемент.

А будут ли эти определения эквивалентны для нецелостных колец? Мне кажется, что нет. Из 2) следует 1), но из 1) вывести 2) не получается: $a = k_1b$, $b = k_2a = k_1k_2b$. Откуда $b(1 - k_1k_2) = 0$, но кольцо не целостное и сделать вывод, что $1 = k_1k_2$ нельзя.

[pppppppo_98]

iifat в сообщении #1625827 писал(а):

У вас там закрывающая скобка не туда вылезла, из-за чего ссылка, соответственно, ведёт не туда.

(Оффтоп)

Звыняюсь

[dgwuqtj]

pppppppo_98 в сообщении #1625811 писал(а):

иивообще любой элемент можно представить в виде произаедения других- есть китайская теорема об остатках для первоначально решения, а затем ищите другие сравнимые по модулю решениея с составными числами

Вот да, многие вопросы про кольца сводятся к вопросами про их сомножители. А у ТС произведение трёх полей, $\mathbb Z / 30 \mathbb Z \cong \mathbb F_2 \times \mathbb F_3 \times \mathbb F_5$. Если нужно найти пары элементов, отличающиеся домножением на обратимый элемент (это одно из обобщений ассоциированности на кольца с делителями нуля), то такое разложение как раз очень удобно.

-- 13.01.2024, 23:09 --

mathematician123 в сообщении #1625829 писал(а):

А будут ли эти определения эквивалентны для нецелостных колец? Мне кажется, что нет. Из 2) следует 1), но из 1) вывести 2) не получается: $a = k_1b$, $b = k_2a = k_1k_2b$. Откуда $b(1 - k_1k_2) = 0$, но кольцо не целостное и сделать вывод, что $1 = k_1k_2$ нельзя.

Можно взять универсальное кольцо $\mathbb Z[a, k_1, k_2] / (a (1 - k_1 k_2))$, в нём $a$ и $a k_2$ не отличаются домножением на обратимый элемент (потому что обратимые элементы - это только $\pm 1$). Но для $\mathbb Z / 30 \mathbb Z$ они эквивалентны, наверное, так для всех регулярных по фон Нейману колец.

[StepV]

Окончательно по кольцу $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ получились интересные результаты.
Элементы кольца по подгруппе обратимых элементов разбились на следующие классы:
$C_1:\textbf{16};2;4;8;14;22;26;28$
$C_2:\textbf{21};3;9;27$
$C_3:\textbf{25};5$
$C_4:\textbf{6};12;18;24$
$C_5:\textbf{10};20$
$C_6:15$

Классы с $C_1$ по $C_5$ являются группами. И у этих групп крутая особенность. По списку элементов групп видно, что $1$ отсутствует. Функции единицы в группах исполняют числа, указанные в списках элементов первыми и выделенные жирным шрифтом.
Группы, получившиеся в классах $C_2$ и $C_4$ легко классифицируются, так как это группы порядка 4 . Они изоморфны $Z_4$.
Для группы класса $C_2$ привожу таблицу Кэли:
\begin{tabular}{c|rrrr} x & 21 & 9 & 3 & 27 \\ \hline $21$ & $21$ & $9$ & $3$ & $27$ \\ $9$ & $9$ & $21$ & $27$ & $3$ \\ $3$ & $3$ & $27$ & $9$ & $21$ \\ $27$ & $27$ & $3$ & $21$ & $9$ \end{tabular}
Собираюсь посмотреть еще $Z_{28}$ и $Z_{24}$. Проверить на аналогичность результата. Заранее приношу извинения за возможные опечатки в TeX, т.к. таблица заняла много времени на наладку.

[mathematician123]

StepV в сообщении #1627217 писал(а):

Классы с $C_1$ по $C_5$ являются группами

$C_6$ тоже группа: $15 \cdot 15 \equiv 15 \pmod{30}$. Вообще, так как $\gcd(kn + r, n) = \gcd(r, n)$, то можно определить не только НОД двух чисел, но и НОД числа и остатка. В случае $\mathbb{Z}_{30}$ получим $\gcd(30, r) \in \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$. Например, $C_2$ образуют остатки $r$, для которых $\gcd(30, r) = 3$. С помощью китайской теоремы об остатках можно доказать, что в результате получится группа. Для $\mathbb{Z}_{24}$ и $\mathbb{Z}_{28}$ уже другая ситуация, так как, например, из $\gcd(28, a) = \gcd(28, b) = 2$ не следует, что $\gcd(28, ab) = 4$.

[StepV]

mathematician123 в сообщении #1627246 писал(а):

$C_6$ тоже группа: $15 \cdot 15 \equiv 15 \pmod{30}$.

Спасибо. Как-то у меня не хватило смелости признать один элемент группой. Он получился един в трех лицах : элемент группы, обратный элемент группы и нейтральный элемент группы. Тоже удивительный для меня результат. Получается, что кольцо $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ после факторизации группой обратимых элементов разбивается на классы, каждый из которых является группой. Интересно, как это можно было бы выразить в математической нотации. Вроде это не прямая сумма или произведение. Или просто операцией объединения?

[dgwuqtj]

StepV в сообщении #1627249 писал(а):

Получается, что кольцо $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ после факторизации группой обратимых элементов разбивается на классы, каждый из которых является группой. Интересно, как это можно было бы выразить в математической нотации. Вроде это не прямая сумма или произведение. Или просто операцией объединения?

Просто дизъюнктное объединение множеств, являющихся группами. Ничего удивительного в этом нет как раз потому что ваше кольцо - это произведение полей. Есть более общий результат, если полугруппа $S$ (множество с ассоциативной бинарной операцией) является вполне регулярной, то есть для всех $x \in S$ существует $y \in S$ такой, что $xyx = x$, $yxy = y$, $xy = yx$, то $S$ разбивается в дизъюнктное объединение подполугрупп, являющихся группами. В коммутативном случае единицы этих групп (идемпотенты в $S$) сами образуют подполугруппу.

[StepV]

По кольцу $\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ получился следующий результат. В кольце 20 обратимых элементов, поэтому получается всего один класс: $5;10;15;20$ - это класс содержит только делители нуля. Все элементы при умножении друг на друга дают ноль.
По кольцу $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ получились следующие классы:
$C_1:2;10;14;22$
$C_2:3;9;15;21$
$C_3:4;20$
$C_4:6;18$
$C_5:8;16$
$C_6:12$

Отличие этого разбиение от разбиения $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ очень большое. В разбиении элементов кольца только классы $C_2$ и $C_5$ - группы. Остальные классы организуют некую арифметику классов, которая, однако, не является группой:
$C_1\cdot C_1 = C_4$
$C_3\cdot C_3 = C_4$
$C_4\cdot C_4 = C_6$
$C_6$ - делитель нуля.

dgwuqtj в сообщении #1627257 писал(а):

В коммутативном случае единицы этих групп (идемпотенты в $S$) сами образуют подполугруппу.

У нас этого нет во всех трех случаях, по-видимому, пототу что полугруппа не является вполне регулярной. Имеются делители нуля.

[dgwuqtj]

StepV в сообщении #1627301 писал(а):

У нас этого нет во всех трех случаях, по-видимому, пототу что полугруппа не является вполне регулярной. Имеются делители нуля.

Это потому что вы зачем-то выкинули 0 и, соответственно, произведение делителей нуля не всегда определено. Например, у кольца $\mathbb Z / 6 \mathbb Z$ все орбиты при действии мультипликативной группы - это $\{0\}$, $\{3\}$, $\{2, 4\}$ и $\{1, 5\}$. Идемпотенты $0, 1, 3, 4$ образуют полугруппу (не группу, разумеется, а полурешётку, это даже булева решётка).