Разрезание квадрата и куба

[Drimacus]

Здравствуйте.
Есть задача: дан квадрат $990\times 990$. Можно ли разрезать его на прямоугольники $1\times 4$?
Ответ нет и я хочу доказать его так: предположим, что можно. Во-первых, заметим, что стороны всех прямоугольники должны быть параллельны сторонам исходного квадрата из-за углов, а еще они должны примыкать друг к другу, поэтому можно представить, что квадрат клетчатый и прямоугольники тоже клетчатые по сторонам сетки. Тогда всего квадратов должно быть нечетное число. Раскрасим клетчатый квадрат квадратами $2\times 2$ в шахматном порядке в синий и зеленый цвет. Тогда каждый прямоугольник $1\times4$ обязан пересекать ровно две зеленые клетки, но двоек зеленых клеток четное число, а прямоугольников - нечетное, противоречие с разрезанием.
Вопрос: какие еще "другие" способы возможны?
И другая задача: есть куб $990\times990\times 990$, его надо разрезать на $1\times1\times4$. Спрашивается, можно это сделать? Ответ тот же и доказать его можно той же идеей. Мой вопрос - какие есть другие решения?

(Оффтоп)

Пробовал задавать эту задачу chatgpt и он с ней не справился. С некоторыми другими простенькими задачками он справлялся, хотя почти никогда полностью корректно.

[Gagarin1968]

Drimacus в сообщении #1623040 писал(а):

Вопрос: какие еще "другие" способы возможны?

Ну, например, стандартный олимпиадный.
Раскрасим все клетки квадрата $990\times 990$ в $4$ цвета так, чтобы любой прямоугольник $1\times 4$ занимал $4$ разных цвета, вот так (рисую только верхний левый угол нашего большого квадрата):

$$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix}$$

Если удастся разрезать квадрат на прямоугольники, то понятно, что всех цветов в квадрате должно быть поровну. Но как легко сосчитать (ну, скажем, не совсем легко), в получившемся квадрате цветов не поровну.
Клеток с цветом 1 — 245026, с цветом 2 — 245025, с цветом 3 — 245024, с цветом 4 — 245025.
Но тут фишка в том, что считать, сколько именно клеток каждого цвета, вовсе не обязательно, нам же важно знать поровну ли их или нет, а если нет, то каких больше и на сколько. А это можно узнать гораздо проще.
Drimacus, догадываетесь как?

[Drimacus]

Gagarin1968
Да, догадался:

(Оффтоп)

Поскольку число 990 дает остаток 2 при делении на 4, то последние две клетки первой строки будут $...12$ (правый угол в вашей раскраске). Дальше будем двигаться из правого угла в левый нижний и считать цвета диагоналями, параллельными направлению "слева-направо сверху-вниз". Тогда в каждой такой диагонали будет один цвет. Распределение цветов таково: $'2' = 1 \mod 4, '1' = 2 \mod 4, '4' = 3 \mod 4, '3' = 4 \mod 4$ (это неправильно, но считаем так для удобства). Теперь надо посчитать сумму для каждого цвета по отдельности. Тут важно заметить, что после перехода через диагональ остатки меняются на противоположные.

$$'2'\colon 1+5+9+\ldots +(1+4\cdot[990/4]) + (3+4([990/4]-1)) + (3+4([990/4]-2))+\ldots + 7+3$$

(первый угол и диагональная тройка с конца)

$$ '1'\colon 2+6+10+\ldots + (2+4[990/4] \tiny{= 990}) + (2+4([990/4]-1)) + \ldots + 6 + 2 $$

(первая диагональная двойка с начала и последняя двойка с конца)

$$ '4'\colon '1'\colon 3+7+11+\ldots + (3+4[990/4]) + (1+4([990/4]-1)) + \ldots + 5 + 1 $$

(первая диагональная тройка с начала и угол с конца)

$$ '3'\colon 4+4+12+\ldots + 4[990/4] + 4([990/4]-1) + \ldots + 8 + 4 $$

(первая четверка и последняя четверка диагональных клеток).

Можно просуммировать "умно", но мне лень, я тупо суммирую две прогрессии итого восемь (точнее 7, с тройкой удвоенная одна и таже прогрессия). По получаем: $'1' = 245026, '2' = '4' = 245025, '3' = 245024$. Явное несоответствие числа клеток разных цветов, а должно быть одно и то же. Со стороной кратной 4 такое не прокатит, так как все суммы будут равны.

Только скажите честно, вы эту тему откопали после темы с семерками? А с какой целью?
Для себя я уже разобрал эту задачу, да и случай куба ненамного сложнее, хотя решать обе задачи (хоть каким-нибудь способом) умел и до открытия этой темы.