Задачи на дифференцируемость функции в норм. пространствах

[seraphimt]

Добрый день. Читаю книжку по анализу, но поскольку проверить решения задачек оттуда некому, подскажите, пожалуйста.
1) $f$ и $g$ дифференцируемые в точке $a$. Доказать, что $d_a(fg)=d_afg(a)+f(a)d_ag$

$f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a)=\\ f(a+h)g(a+h) -f(a+h)g(a)+ f(a+h)g(a)- f(a)g(a) = \\ f(a+h)(g(a+h)-g(a)) + g(a)(f(a+h)-f(a))=\\ f(a+h)(d_ag+o(h))+g(a)(d_a f+o(h)) $
Насколько я понимаю, тут можно сказать, что когда $h$ мал, то из-за непрерывности $f, f(a+h)\to f(a)$, а слагаемые $f(a)o(h),g(a)o(h)$ просто войдут в $o(h)$ тк $f(a),g(a)$ просто числа.

(Оффтоп)

Не понял, как сделать формулы в строку на всю ширь тк почему то они обрывались на трети экрана и переносились на следующую. И не понял откуда отступ у первой строки =_=

2) Доказать, что функция не дифференцируема в точке (0, 0), хотя и имеет частные производные всюду.
$f(x)=\begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^2}, x^2+y^2>0 \\ 0, x^2+y^2=0 \end{cases}$
Вне нуля частные производные очевидно есть. В нуле, по определению для $x$ (и аналогично для $y$):
$\lim_{t \to 0}\frac{f(0+t,0) - f(0,0)}{t}=0$
Ну и вообще сразу видно, что на осях функция 0, значит и её приращение, когда идём вдоль осей тоже 0.
Теперь дифференцируемость в точке (0, 0).
Пусть $f(0+h_1,0+h_2)-f(0,0)=df +o(h) \implies \frac{h_1h_2^2}{h_1^2+h_2^2}=0h_1+0h_2 + o(h)$
Это можно раскрыть так $\frac{h_1h_2^2}{h_1^2+h_2^2}=\alpha(h)\|h\| (\alpha(h) \to 0, \|h\| \to 0)$
Вот тут вопрос - можно ли норму взять эвклидовой? Насколько я понимаю, в $\mathbb{R}^n$ все нормы эквивалентны и для сходимости неважно по какой смотрим. Если да, то можно взять $h_1=h_2$,тогда
$\frac{h_1h_2^2}{h_1^2+h_2^2} = \frac{h_1}{2\|h\|} = \alpha(h) \implies \frac{1}{2\sqrt{2}}=\alpha(h)$
Но слева просто число, оно не зависит от $h$ и не стремится к нулю, противоречие.

Ещё такой вопрос - в этой книжке приличное количество задач, нужно ли заводить по каждой новую тему или лучше сразу несколько на одну тему приводить?

[VanD]

Здравствуйте!

1) Дифференцируемость $f$ в точке $a$ -- это про разложение для $f(a + h)$. Если обозначить $\varphi = fg$, то дифференцируемость произведения -- это про справедливость аналогичного разложения для $\varphi(a + h) = f(a + h)g(a + h)$. При этом разложения для $ f(a + h)$ и $g(a + h)$ у Вас есть, осталось только подставить их и упростить.

Впрочем, можно делать и как у Вас, но слова про

seraphimt в сообщении #1626484 писал(а):

что когда $h$ мал, то из-за непрерывности $f, f(a+h)\to f(a)$

на мой взгляд слишком туманны. Фактически тут Вы говорите, что $f(a + h) = f(a) + o(1)$. Лучше уж тогда прямо подставить это разложение в последнюю строку и проверить, что после этого удаётся сделать нужный вывод.

По поводу обозначения $d_a f$: я не отрицаю того, что оно иногда встречается, но оно может путать. Вместо него я бы использовал что-то вроде $df|_a(h)$, чтобы явно указать зависимость от приращения аргумента.

2) Там, где у Вас встречается $o(h)$, должно быть $o(\|h\|)$, хотя дальше Вы правильно раскрываете смысл этого слагаемого.

В конечномерном векторном пространстве действительно все нормы эквивалентны и как следствие можно брать евклидову. Дальше у Вас промежуточные выкладки содержат описки и неявно делается предположение, что $h_1 > 0$. Сделанный вывод про $\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \alpha(h_1, h_1)$ при этом предположении верен и на содержательном уровне действительно завершает доказательство.

На всякий случай уточню: $o(h)$ не задумано как обозначение того, что $h$ является аргументом у стоящей в этом месте функции.

[seraphimt]

VanD
Спасибо за разбор!

seraphimt всообщении #1626484 писал(а):

Там, где у Вас встречается $o(h)$, должно быть $o(\|h\|)$, хотя дальше Вы правильно раскрываете смысл этого слагаемого.

Честно говоря, просто лень было писать эти палочки, поэтому опускал, где не особо важно. Сейчас буду везде указывать.

VanD в сообщении #1626610 писал(а):

на мой взгляд слишком туманны. Фактически тут Вы говорите, что $f(a + h) = f(a) + o(1)$. Лучше уж тогда прямо подставить это разложение в последнюю строку и проверить, что после этого удаётся сделать нужный вывод.

Да, что-то такое в голове было, но не додумал. Тогда, при $h \to 0$
$f(a+h)(d_ag+o(\|h\|)) = $
$=(f(a)+o(1))(d_ag(h)+o(\|h\|))= f(a)d_ag(h)+f(a)o(\|h\|)+ o(1)d_ag(h)+o(|h\|)$
$dg$ линейный, значит $\|dg(h)\| \leqslant C\|h\|$. Отсюда $o(1)d_ag(h) =o(|h\|)$

VanD в сообщении #1626610 писал(а):

промежуточные выкладки содержат описки

Перечитал несколько раз и не нашёл =_=

[VanD]

Я имел в виду, что $o(\|h\|)$ требуется именно во втором пункте. Когда речь идёт о функциях одной действительной переменной, обычно используют $o(h)$, хотя в принципе и тут при желании можно нормы писать.

seraphimt в сообщении #1626484 писал(а):

$\frac{h_1h_2^2}{h_1^2+h_2^2} = \frac{h_1}{2\|h\|} = \alpha(h) \implies \frac{1}{2\sqrt{2}}=\alpha(h)$

слева в знаменателе не хватает множителя $\|h\|$.

Ну и по-хорошему ещё не стоит забывать (во всех пунктах) про техническое требование того, что функция должна быть определена в окрестности точки.