Закон по которому период обращаеться в бесконечность

[GAA]

$\frac {1}{\sqrt {\alpha}}\int\limits_1^{\hat \beta_1/\sqrt{\varepsilon} }\frac {dp} {\sqrt{p^2 - 1}} = \ln \left(p + \sqrt{p^2-1}\right)|_{1}^{\hat \beta_1/\sqrt{\varepsilon}}= \frac {1}{\sqrt {\alpha}}\ln \left(\hat \beta_1 +\sqrt {\hat \beta_1^2-\varepsilon} \right) - \frac {1}{\sqrt {\alpha}}\ln \sqrt \varepsilon$
Результат не меняется.

[GAA]

График потенциала

$$U(x) = \begin{cases} -\cos x, & \text{если}\, x \le 0;\\ -1 +x^2/2,& \text{если}\, x > 0.\\ \end{cases}$$

очень похож на график потенциала из Сборника задач.
Для такого потенциала
$T \propto 2K\left(\sqrt{\frac {2-\varepsilon}{2}}\,\right) + 2 \int\limits_0^{\sqrt {2(E+1)}} \frac {dx}{\sqrt {2(E+1-x^2/2})}$.
$T \propto 2\ln (4\sqrt 2) -\ln \varepsilon + \pi$, при $\varepsilon \to 0$.

Можно рассмотреть потенциал

$$U(x) = \begin{cases} 1-(x+2)^2 x, & \text{если}\, x \le -1;\\ -1 +x^2,& \text{если}\, x > -1.\\ \end{cases}$$

В этом случае всё вычисляется в элементарных функциях. Правда правая часть уравнения не является непрерывно дифференцируемой (в точке $x=-1$).

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1626615 писал(а):

Период даже асимптотически не пропорционален $-\ln \varepsilon$ (аддитивная константа пропорциональность портит). Чёрт его знает, что они под пропорционален ("$\propto $") понимают в ответе к упражнению.

Они видимо этим значком обозначают эквивалентность функций. Две функции называются эквивалентными (в нашем случае можно сказать - эквивалентными бесконечно большими), если их отношение стремится к единице.

[GAA]

мат-ламер, нет. Ответ в книге не эквивалентен решению. Опущены коэффициенты. Ответ в книге пропорционален эквивалентной.

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1626696 писал(а):

мат-ламер, нет. Ответ в книге не эквивалентен решению. Опущены коэффициенты. Ответ в книге пропорционален эквивалентной.

Давайте сначала не про ответ в книге. Я исходил из вашего поста:

GAA в сообщении #1626615 писал(а):

Вообще, формулировка упражнения и ответ несколько небрежены. Рассмотрим случай колебаний под действием потенциала $U = -\cos x$ (математический маятник). Период колебаний
$T =\propto 2K \left(\sqrt {\frac {2-\varepsilon} {2}}\, \right) \propto 2\ln(4 \sqrt 2) - \ln\varepsilon + \left (\frac {\ln(4 \sqrt 2) -1} {4} - \frac {\ln \varepsilon } 8 \right)\varepsilon +…$
Здесь $K$ — эллиптический интеграл первого рода.
Период даже асимптотически не пропорционален $-\ln \varepsilon$ (аддитивная константа пропорциональность портит).

Функции $f_1(\varepsilon)=2\ln(4 \sqrt 2) - \ln\varepsilon $ и $f_2(\varepsilon)=- \ln\varepsilon $ есть эквивалентные бесконечно большие функции. Их отношение стремится к единице при $\varepsilon \to 0$ . И аддитивная константа тут ничего не портит.

Теперь вернёмся к исходной задаче. В принципе левая часть графика, которая в основном определяет период колебаний, как раз и соответствует математическому маятнику. Задачу я решал совсем другим способом. У меня получился дополнительный мультипликативный коэффициент внутри логарифма, который можно вынести из логарифма как аддитивный коэффициент. И он асимптотику не портит.

Давайте поступим так. Я решу задачу вашим способом и полностью отвечу на ваше замечание уже завтра.

[GAA]

мат-ламер в сообщении #1626712 писал(а):

Задачу я решал совсем другим способом.

Другим способом. В случае математического маятника — это интересно. Я кроме стандартного решения ничего не знаю. Выкладывайте свой совсем другой способ.

-- Sun 21.01.2024 18:29:07 --

мат-ламер в сообщении #1626712 писал(а):

И аддитивная константа тут ничего не портит.

Ага, и ? Понятно по решению, что в ответе $\propto$ — пропорционален эквивалентной бесконечно большой, но в книге этот символ не расшифрован. И везде он используется в таком смысле (пропорционален эквивалентной бесконечно большой/малой)?

[GAA]

GAA в сообщении #1626727 писал(а):

Я кроме стандартного решения ничего не знаю.

Т.е. через эллиптическую функцию, либо при помощи асимптотического разложения (Боголюбов, Митропольский).

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1626727 писал(а):

Ага, и ? Понятно по решению, что в ответе $\propto$ — пропорционален эквивалентной бесконечно большой, но в книге этот символ не расшифрован.

Произошло следующее недоразумение. Я прочёл сугубо ваш последний пост с косинусом. В нём аддитивная константа ничего не портит. А вот посмотрел ответ в книге. Там должна появиться уже мультипликативная константа, которую они не приводят. Значит значок определяет отношение эквивалентности с точностью до константы. То есть две бесконечно большие величины эквивалентны, если их отношение стремится к константе.

GAA в сообщении #1626727 писал(а):

Выкладывайте свой совсем другой способ.

Сейчас дела по дому. Но там идея простая. Исходя из закона сохранения энергии, получается простейшее дифференциальное уравнение, решение которого есть экспонента. А если смотреть время, как функцию, от энергии, то получается логарифм. Подробно завтра распишу.

-- Вс янв 21, 2024 21:28:41 --

мат-ламер в сообщении #1626737 писал(а):

Исходя из закона сохранения энергии, получается простейшее дифференциальное уравнение,

Хотя там есть тонкость. Это уравнение в пределе простейшее. Надо ещё обосновать законность предельного перехода.

[мат-ламер]

Кстати, в задачнике авторы подробно расписывают решение задачи 1.5.а, которая похожа на задачу 1.4.

[Cosmochelik]

GAA
Да, вы правы, мой косяк. Действительно, от того что я иначе вычислю интеграл площядь от $c$ до $b_1$ не должна поменяться
Сегодня в течении дня пытался доказать что второй интеграл растет медленнее, но чет не вышло особо

-- 21.01.2024, 22:02 --

мат-ламер
Я видел, но там вроде как другая немного ситуация, и.. там где они как то начинают подключать скорость и $L$, я перестаю интуитивно понимать как они доходят до этого

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1626737 писал(а):

Исходя из закона сохранения энергии, получается простейшее дифференциальное уравнение, решение которого есть экспонента. А если смотреть время, как функцию, от энергии, то получается логарифм. Подробно завтра распишу.

Для простоты будем считать, что у нас точка единичной массы и $U_m=0$ . Тогда потенциальная энергия точки равна $U=\alpha x^2/2$ , а кинетическая - $E=(\dot{v_x}^2+\dot{v_y}^2)/2 \approx \dot{v_x}^2/2=\dot{x}^2/2$ . Приравнивая эти две энергии, получаем уравнение $\sqrt{\alpha}x=-\dot{x}$ , решение которого находится по формуле $t=-\ln x/\sqrt{\alpha} +C \approx -\ln \varepsilon/ (2 \sqrt{\alpha})$ . (В окончательной формуле конечный член $C$ убрал и оставил только член, стремящийся к бесконечности).

[GAA]

мат-ламер в сообщении #1626813 писал(а):

Тогда потенциальная энергия точки равна $U=\alpha x^2/2$

Потенциальная энергия имеет более сложный вид. Более того, если потенциальная энергия имеет такой вид, то у нас гармонические колебания, период которых от энергии не зависит.

мат-ламер в сообщении #1626813 писал(а):

а кинетическая - $E=(\dot{v_x}^2+\dot{v_y}^2)/2 \approx \dot{v_x}^2/2=\dot{x}^2/2$

Рассматриваемое упражнение на тему одномерные колебания, поэтому о проекции скорости на ось Y нет смысла писать. В обозначениях авторов упражнения $E$ — энергия — константа. Опечатка: над скоростью точку ставить не нужно.

мат-ламер в сообщении #1626813 писал(а):

Приравнивая эти две энергии, получаем уравнение $\sqrt{\alpha}x=-\dot{x}$ ,

А на основании чего приравнивается кинетическая и потенциальная энергия?

мат-ламер в сообщении #1626813 писал(а):

решение которого находится по формуле $t=-\ln x/\sqrt{\alpha} +C \approx -\ln \varepsilon/ (2 \sqrt{\alpha})$

На основании чего $x$ заменяется на $\varepsilon$?

----------------------
И где тут период колебаний?

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1626835 писал(а):

Потенциальная энергия имеет более сложный вид. Более того, если потенциальная энергия имеет такой вид, то у нас гармонические колебания, период которых от энергии не зависит.

Извиняюсь. $U=-\alpha x^2+o(x^2)$ ($\alpha > 0$).
(Буду отвечать постепенно).

-- Пн янв 22, 2024 21:44:04 --

GAA в сообщении #1626835 писал(а):

А на основании чего приравнивается кинетическая и потенциальная энергия?

Извиняюсь. Сумма потенциальной (как я написал по-новому - со знаком минус) и кинетической энергии сохраняется.

-- Пн янв 22, 2024 21:49:57 --

GAA в сообщении #1626835 писал(а):

На основании чего $x$ заменяется на $\varepsilon$?

Исходя из этого

мат-ламер в сообщении #1626836 писал(а):

$U=-\alpha x^2+o(x^2)$

Здесь $x$ выражаем через $\varepsilon = U-U_m$ посредством корня. Там ещё возникают бесконечно малые, которые я не стал расписывать.

-- Пн янв 22, 2024 21:53:53 --

GAA в сообщении #1626835 писал(а):

Более того, если потенциальная энергия имеет такой вид, то у нас гармонические колебания, период которых от энергии не зависит.

Извиняюсь, мы же не в потенциальной яме, а на потенциальной горке.

[Cosmochelik]

GAA в сообщении #1626696 писал(а):

мат-ламер, нет. Ответ в книге не эквивалентен решению. Опущены коэффициенты. Ответ в книге пропорционален эквивалентной.

Если вас смущает аддитивная константа, то может там имеется ввиду что то вроде "растет как " ?

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1626835 писал(а):

Рассматриваемое упражнение на тему одномерные колебания,

Я чего-то в голове временно представил себе реальный математический маятник, то есть материальную точку, которая скатывается с ледяной квадратичной горки (сферическую горку можно аппроксимировать квадратичной). Извиняюсь, временное помутнение. На $v_y$ не обращайте внимание.

GAA в сообщении #1626835 писал(а):

Опечатка: над скоростью точку ставить не нужно.

Что-то рассеянный стал.

-- Пн янв 22, 2024 22:05:42 --

GAA в сообщении #1626835 писал(а):

И где тут период колебаний?

Вообще-то моё решение не про колебание. Оно про то, сколько времени занимает движение в одну сторону вблизи потенциального максимума. Чтобы найти период колебания, надо это время удвоить (спуск с горки и поднятие на неё). Движение вдали от потенциального максимума занимает конечное время и не учитывается.

-- Пн янв 22, 2024 22:11:02 --

мат-ламер в сообщении #1626836 писал(а):

(Буду отвечать постепенно).

Пока всё. Вроде на всё ответил.