асимптотика решения системы диф уравнений на бесконечности

[IrinaZub]

Здравствуйте!

Дана задача Коши:

$$x'(t)=\cos(\theta(t))+\sin(\theta(t)),\quad z'(t)=\sin(\theta(t)),\quad \theta'(t)=\exp(-x(t))-\exp(-z(t)),$$

где $x(0)=z(0)=\theta(0)=0$.

Maple показывает, что $\theta(t)\to -\infty$, $x(t)\to +\infty$ при $t\to +\infty$, $z(t)$ совершает колебательные движения (и ограничена) на $(0,+\infty)$, а функция $\theta'(t)-\cos(\theta(t))$ имеет конечный предел (?) при $t\to +\infty$. Как это доказать аналитически (без использования Maple)? Какую литературу можно посмотреть на эту тему? Спасибо.

[Red_Herring]

Я подозреваю, что это трудная задача: нелинейная система 3х уравнений (важно, что больше 2х). Почему такие системы могут быть очень сложными?--ну вспомним систему Лоренца (странный аттрактор). Я вовсе не имею в виду, что здесь то же самое, просто то, что такие задачи могут быть очень сложными.

Более подробно, какой рост у функций, стремящихся к бесконечности, вы наблюдаете?

[IrinaZub]

Добрый день, Red_Herring.

Это график функции $\theta(t)$:


Это график функции $x(t)$:


Это график функции $z(t)$:


Это график функции $\theta'(t)-\cos(\theta(t))$:


-- 15.01.2024, 16:05 --

Можно ли предположить, исходя из последнего графика, что функция $\theta'(t)-\cos(\theta(t))$ имеет конечный предел при $t\to +\infty$?

[Red_Herring]

Похоже, что у какого-то решения "асимптотика" линейная+периодическая. А если попробовать другие начальные данные, что изменится?

[IrinaZub]

Зафиксируем $x(0)=0$, $z(0)=0$, $\theta(0)=\theta_0$. При $\theta_0\in [0,0.9855]$ картинки примерно такие же, как при $\theta_0=0$.

При $\theta_0=0.99$ ситуация принципиально другая: функция $\theta(t)$ имеет конечный предел, $x(t)\to +\infty$, $z(t)\to +\infty$ при $\theta\to +\infty$.

Вот график функции $\theta(t)$:


Вот график функции $x(t)$:


Вот график функции $z(t)$:


Вот график функции $\theta'(t)-\cos(\theta(t))$:


Похожая ситуация будет при $\theta_0\in [0.99,1.75]$. При $\theta_0=1.8$ $\quad\theta(t)\to +\infty$, $z(t)\to +\infty$, $x(t)$ совершает колебательные движения и ограничена при $t\to +\infty$. В этом случае, похоже, что функция $\theta'(t)-\cos(\theta(t))+\sin(\theta(t))$ имеет конечный предел при $t\to +\infty$.

[mihiv]

При специальных начальных условиях решения получаются в явном виде.
Пусть, например, $x(0)=z(0)=c, \theta (0)=\dfrac {\pi }2+2\pi n$, тогда $x(t)=z(t)=t+c, \theta (t)=\dfrac {\pi }2+2\pi n$

[vicvolf]

mihiv в сообщении #1626655 писал(а):

При специальных начальных условиях решения получаются в явном виде.
Пусть, например, $x(0)=z(0)=c, \theta (0)=\dfrac {\pi }2+2\pi n$, тогда $x(t)=z(t)=t+c, \theta (t)=\dfrac {\pi }2+2\pi n$

Наверно имели в виду $\theta (0)=\dfrac {\pi }2$?

[mihiv]

vicvolf в сообщении #1626664 писал(а):

Наверно имели в виду $\theta (0)=\dfrac {\pi }2$?

$\theta $ входит в уравнения под знаком $\sin $ или $\cos $, поэтому при добавлении $2\pi n, (n$ целое), также получим решение.
Но решения серии правильнее отмечать индексом: $x_n(t)$ и т.д.

[IrinaZub]

mihiv, да, это так. Например, при начальных условиях $x(0)=z(0)=0$, $\theta(0)=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$, получаем $x(t)=z(t)=-t$, $\theta(t)\equiv-\frac{\pi}{2}+2\pi n$.

-- 21.01.2024, 13:01 --

При этом Maple при начальных условиях $x(0)=z(0)=0$, $\theta(0)=-\frac{\pi}{2}$, почему-то не выдает точное решение - вообще никакой реакции на dsolve. При приближенном вычислении рисует графики функций $\theta(t)$, $x(t)$, $z(t)$ при положительных $t$ только при $t=0..17.76$. При больших $t$ выдает ошибку: "Warning, cannot evaluate the solution further right of 17.767782, maxfun limit exceeded (see ?dsolve,maxfun for details".

-- 21.01.2024, 13:06 --

Мне интересно, если мы чуть-чуть поменяем начальные условия: $x(0)=z(0)=0$, $\theta(0)=-\frac{\pi}{2}+\varepsilon$, где $\varepsilon$ мало, то можно ли как-то доказать, что $x(t)\to -\infty$, $z(t)\to -\infty$ при $t\to +\infty$?

[mihiv]

Решения системы удовлетворяют определенным неравенствам.
Обозначим $y(t)=x(t)-z(t)$. Тогда система уравнений примет вид:

$$\dot y=\cos \theta ,\dot z=\sin \theta ,\dot \theta =\exp (-(y+z))-\exp (-z)$$

Мы можем считать, что эта система уравнений описывает движение точки с постоянным по модулю вектором скорости, потому что $v^2=\dot x^2+\dot y^2=1$. Так как при этом условии длина траектории точки в момент $t$ равна $t$, то выполняется неравенство:

$$(y(t)-y_0)^2+(z(t)-z_0)^2\slant \leq t^2, (y_0=x_0-z_0)$$

Индексом 0 обозначены начальные значения.