Почему пропадает инвариантность в решениях для полей?

[Onoochin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1625847 писал(а):

(Можно сказать, что проверка этого факта в каждом частном примере - мартышкин труд; потому что заранее ясно, что всё должно получаться в соответствии с инвариантностью уравнений теории, если не портачить в расчётах.

Так примеров для проверки всего два. Больше нет.
Да, скорее всего инвариантность полей при равноускоренном движении имеет место. Есть проблема лоренцевых преобразований из полей, когда заряд останавливается. Было бы удобно, т.к. в этом случае выражения для полей самые простые. Но такие поля - вырожденный случай. Может, при этом формулы неприменимы.

Но что касается общего случая (как это изложено в § 63 ЛЛ-2), то проверка инвариантности невозможна. Хотя бы потому, что у ЛЛ-2 сам вывод потенциалов ЛВ с помощью преобразований неверен.
Вот что они пишут:

Цитата:

В системе отсчета, в которой в момент времени $t'$частица покоится, поле в точке наблюдения в момент $t$ дается просто кулоновским потенциалом, т. е.

$$\varphi=\frac{e}{R(t')}\,,\quad \mathbf{A}=0\,.\quad \quad (63.2) $$

Это не так. Для потенциалов Шотта если заряд покоится, то потенциалы на расстоянии $R=\sqrt{r^2+x^2}$ будут такими

$$ \varphi=\frac{e(k^2+R^2)}{x\sqrt{(R^2-k^2)^2+4k^2r^2}}\,;\quad A_x=-\frac{e}{x}\,.$$

Поэтому такой простой вывод, как у ЛЛ-2 не получится.

Хотя конечно, если преобразованиями Лоренца удастся получить формулы (63.5), то поля из них вычислить можно.

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin

Да Вы просто неправльную фрмулу написали для расстояния $R$ между точкой наблюдения поля и зарядом в момент его покоя. И формулы потенциалов $\varphi,A_x$ для поля Шотта у Вас неверные получились. Как говорится, извините, но так не паяют!

В ЛЛ-2 всё верно написано. Надо внимательнее читать и стараться понять там написанное, а не придумывать нелепые "опровержения".

Вот, давайте спокойно вдумаемся и всё аккуратно проделаем, по пунктам:

1. Во-первых: в ЛЛ-2 в процитировнном Вами тексте, применительно к задаче с "гиперболическим" движением заряда, время со штрихом $t'$ - это значение того единственного конкретного момента времени $t,$ при котором скорость заряда равна нулю, при условии, что траектория заряда есть $x_{\text{заряда}}(t)\,=\,\sqrt{k^2+t^2},$ $y_{\text{заряда}}=0,$ $z_{\text{заряда}}=0$ в данной нештрихованной ИСО. (Никаких других ИСО не будет в этом сюжете).

Скорость заряда это производная от координат заряда по времени $t$ в данной ИСО. Выражение для неё Вы нам уже выписывали: скорость параллельна $x$-оси и равна $t/\sqrt{k^2+t^2}.$

Видно, что скорость заряда обращается в ноль в момент времени $t=0.$ Из формулы траектории видим, что в этот момент времени координаты заряда есть:

$$x_{\text{заряда}}=k,\qquad y_{\text{заряда}}=0,\qquad z_{\text{заряда}}=0.$$

Значит, расстояние $R$ от заряда в точке с этими координатами до точки наблюдения поля с произвольными координатами $x,y,z$ есть

$$R=\sqrt{(x-x_{\text{заряда}})^2+(y-y_{\text{заряда}})^2+(z-z_{\text{заряда}})^2}=\sqrt{(x-k)^2+y^2+z^2}.$$

В цилиндрической системе координат с $x$-осью комбинация $y^2+z^2=r^2$ это квадрат расстояния $r$ до $x$-оси (на которой в момент времени $0$ в точке $x=k$ покоится заряд), так что с обозначениями цилиндрической системы координат расстояние между точкой покоя заряда и точкой наблюдения поля есть

$$R=\sqrt{(x-k)^2+r^2}.$$

2. Во-вторых: в ЛЛ-2 момент времени $t'$ и момент времени наблюдения поля $t$ связаны формулой запаздывания (63.1). То есть, применительно к нашему сюжету, момент времени $t,$ в который в точке $x,y,z$ наблюдается поле от заряда, покоящегося в момент $0,$ является более поздним - за время $t$ расстояние $R$ должно преодолеваться со скоростью $c.$ То есть: $t=R/c.$ Мы пользуемся для краткости единицами с $c=1,$ так что для момента времени наблюдения поля имеем равенство

$$t=R\,.$$

В формулах потенциалов поля Шотта присутствуют значения $t,x,r$ в точке наблюдения поля. Все эти величины надо теперь выразить через указанное выше расстояние до заряда $R.$ Время уже выражено: $t=R.$ Чтобы выразить $x,$ возводим выражение для $R$ в квадрат и получаем:

$$(x-k)^2=R^2-r^2,$$

$$x=k+\sqrt{R^2-r^2},$$

$$x^2=k^2+R^2-r^2+2k\sqrt{R^2-r^2}.$$

Подставив в $s$ это выражение для $x^2,$ а также $t^2=R^2,$ получаем:

$$s=\sqrt{(x^2+r^2-t^2-k^2)^2+4k^2r^2}=2kR\,.$$

3. Потенциалы поля Шотта в точке наблюдения поля описываются в цилиндрической системе координат с осью $x$ следующими функциями от $t,x,r$ (заряд принят равным единице):

$$\varphi=\frac{x(r^2+x^2+k^2-t^2)-st}{s(x^2-t^2)}\,,$$

$$A_r=A_{\varphi}=0\,,$$

$$A_x = \frac{t(r^2+x^2+k^2-t^2)-sx}{s(x^2-t^2)}.$$

Подставляем сюда указанные выше выражения для $x,x^2,$ $t=R,$ и $s=2kR.$ Справившись с получившимся таким образом школьным упражнением по алгебре типа "упростить выражение", в результате видим, что:

$$\varphi=\frac{1}{R}\,$$

$$A_x=0.$$

То есть, как и обещано в ЛЛ-2, запаздывающий скалярный потенциал $\varphi$, возникший в точке наблюдения поля из находящейся на расстоянии $R$ от неё точки мгновенного покоя заряда-источника, имеет кулоновский вид: $1/R,$ а запаздывающий векторный потенциал при этом равен нулю: $\mathbf{A}=0.$

[Onoochin]

Потенциал, создаваемый в момент времени, когда частица мгновенно покоится, не "дается кулоновским потенциалом", а совпадает с ним только на момент времени $t'$ - если бы это был кулоновский потенциал, то можно было бы вычислить , что магнитное поле в этот момент равно нулю. Но для вычисления полей надо брать производную, т.е. как минимум выражения для потенциалов в двух соседних точках.
В то же время ЛЛ используют $\varphi=e/R(t')$ именно как выражение, описывающее потенциал, поскольку в дальнейшем его преобразовывают.
Это странно, когда магнитное поле из потенциалов не вычислить, а пробразовывать выражения для них можно.

Кроме того, формула (63.3)

$$ A^i=e\frac{u^i}{R_ku^k}$$

не есть релятивистски-инвариантная формула - $u^i$ зависит от запаздывающего времени, которое есть сложная функция текущих координат. Например, у Шотта это $\tau$ - для равноускоренного движения инвариантное выражение. Но в общем виде $\tau$ находится из трансцендентного ур-ния. Эти координаты также придется преобразовывать.

Видимо, инвариантность будет обеспечена, если выражения для потенциалов зависят от формы $ct - x$, потому что при преобразовании координат получается

$$ct - x = \gamma(ct' + Vx'/c) - \gamma(x' +Vt') = \frac{\gamma(c-V)}{c}(ct' - x') $$

- форма сохранилась.
Это выполняется для равномерного и равноускоренного движений.

У Шотта есть несколько решений - большинство нефизические, т.к. скорость заряда не будет ограничена скоростью света. Но можно взять пример решения, когда скорость заряда ограничена световой и выражения удобны для анализа (нет сложных алгебраических выражений в виде полиномов от корней 4-й степени). Например, если заряд движется по оси $x$ по закону $x(t)= a\sqrt{t}$.
Тут всё равно получается набор корней ур-ния 4-й степени при произвольной точки наблюдения. Но если взять точку наблюдения на оси $x$ ($y=z=0$ - инвариантность должна выполняться и в частном случае), то запаздывающее время

$$ c(t - \tau) = (x - a\sqrt{\tau})\,\,\to\,\, \tau = \frac{1}{2c^2}\left(a^2 + 2 c^2t - 2 c x - a \sqrt{a^2 + 4 c^2 t - 4 c x}\right)$$

Далее как у Шотта

$$ R = c(t-\tau)=\frac{1}{2c}\left(2cx+a\sqrt{a^2 + 4 c(c t - x)}-a^2\right)\,;\,\,v(\tau)=\frac{a}{2\sqrt{\tau}} $$

Потенциалы на оси $x$

$$ \varphi= \frac{1}{R\cdot\left[1 - a/(2c\sqrt{\tau})\right]}\,\,;\,\, A_x= \frac{v}{c}\varphi= \frac{a}{2c\sqrt{\tau}} \frac{1}{R\cdot\left[1 - a/(2c\sqrt{\tau})\right]} $$

Если обозначить выражения, содержащие в потенциалах инвариантные члены как: $\sqrt{\tau}=I_1$, $\sqrt{a^2 + 4 c(c t - x)}=I_2$
то получим

$$ \varphi=\frac{4c^3I_1}{\left[ 2cx+aI_2-a^2 \right](2cI_1-a)}\,\,;\,\, A_x=\frac{2c^2}{\left[ 2cx+aI_2-a^2 \right](2cI_1-a)} $$

При преобразовании Лоренца знаменатель изменится на

$$ 2cx+aI_2-a^2 \,\,\to\,\, 2c(x'+Vt') +aI_2-a^2 $$

Сл-но инвариантность нарушится

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin в сообщении #1625980 писал(а):

Сл-но инвариантность нарушится

А что Вы называете "инвариантностью"? Сформулируйте, пожалуйста, подробно и чётко: какими свойствами должны обладать компоненты $\varphi,$ $A_x,A_y, A_z$ 4-векторного потенциала, чтобы по вашему мнению можно было бы сказать: "всё нормально с инвариантностью, она не нарушена".

(P.S.
Дело в том, что Вы на протяжении всей темы постоянно утверждаете, будто в электродинамике что-то где-то неправильно получается с преобразованиями Лоренца. Хотя я Вам уже демонстрировал несколько раз, что всё преобразуется должным образом - так, как и учат учебники, и результат получается именно тот, который и должен получаться в согласии с инвариантностью уравнений Максвелла и с физическим смыслом задачи.

При этом Вы постоянно на протяжении всей темы делаете ошибки в формулах. Поэтому прежде, чем я начну (если вообще соберусь это делать) тратить своё время на разбор вашего нового примера, с $x(t)= a\sqrt{t},$ и проверку вашего вывода, хотел бы чётко понять, какой вообще смысл Вы вкладываете в свои слова "инвариантность нарушится"? Инвариантность чего и вообще что это за свойство такое, "инвариантность", в вашем понимании?)

[Onoochin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1626024 писал(а):

При этом Вы постоянно на протяжении всей темы делаете ошибки в формулах. Поэтому прежде, чем я начну (если вообще соберусь это делать) тратить своё время на разбор вашего нового примера, с $x(t)= a\sqrt{t},$ и проверку вашего вывода, хотел бы чётко понять, какой вообще смысл Вы вкладываете в свои слова "инвариантность нарушится"? Инвариантность чего и вообще что это за свойство такое, "инвариантность", в вашем понимании?)

Я не настаиваю, чтобы Вы занимались случаем $x(t)=a\sqrt{t}$.
В вычислениях я, да, ошибался. Но по Пуанкаре (по физическому принципу) если в том ур-нии, что я привел в первом посте если слева нуль а справа не нуль, то это уже настораживает.
Что касается вычислений с $x(t)=a\sqrt{t}$ или других, то мне хотелось бы понять на примерах, можно ли преобразования применять в самом общем виде (я объяснял, зачем это).
Одно вроде бы установлено - в потенциалах должна быть зависимость от формы $(ct-x)$
Если получится, что в общем виде преобразовывать нельзя, то просто нужный мне метод не подходит. Тогда есть другие методы вычисления потенциалов, выраженных через запаздывающее время.

По инвариантности применительно к уравнениям Максвелла (и их решениям), то первоначально она была сформулирована Пуанкаре в таком виде (Пуанкаре. "О динамике эл-на" "Введение")
Идею Лоренца можно резюмировать так: если возможно сообщить общее поступательное движение всей системе, без того, чтобы имели место какие либо
видимые изменения в явлениях, то это значит, что уравнения электромагнитного поля не изменятся в результате некоторых преобразований, которые мы будем называть преобразованиями Лоренца; две системы, одна неподвижная, другая перемещающаяся поступательно, представляют таким образом точное изображение одна другой.
То есть это исключительно инвариантность ЭМ потенциалов и полей.

Также Пуанкаре ввел "группу Лоренца" - преобразование координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой (§ 4 этой же статьи).
Это означает, что при преобразовании потенциалов $\Phi, A_x$, вычисленных в одной ИСО, получатся потенциалы $\Phi', A_x'$, которые можно вычислить в другой ИСО. Преобразования следующие:

$$\Phi'=\gamma(\Phi - VA_x)\quad A_x'=\gamma(A_x -V\Phi/c^2)\,\,;\quad\quad (1) $$

Далее при линейных Лоренц-преобразованиях координат в этих формулах надо сделать следующие замены

$$x = \gamma(x'+Vt')\quad t= \gamma(t'+Vx'/c^2) $$

Инвариантность достигается тогда, когда потенциалы имеют абсолютно такую же зависимость от координат $x,y,z,t$, что и зависимость потенциалов $\Phi', A_x'$ от $x',y',z',t'$.

Есть некоторая проблема в преобразованиях потенциалов $\Phi, A_x$, взятых при нулевой скорости заряда - тогда для равномерного движения кулоновский потенциал переходит в потенциал ЛВ этого движения. Но зависимости потенциалов от координат разные. Также из потенциалов равноускоренного движения, взятых при $t=0$ невозможно получить потенциалы, взятые при произвольном времени.
Но обратные преобразования: потенциал ЛВ равномерного движения преобразуется в кулоновский и потенциалы Шотта при $t\neq 0$ преобразуются в его же потенциалы, взятые при $t=0$ - это должно выполняться всегда.

Проверка инвариантности (и заодно как понять, почему? - если она нарушается) имеет следующее препятствие - все потенциалы должны быть выражены в текущих координатах, т.е. требуется решение ур-ния относительно неизвестного $\tau$

$$c(t-\tau ) = \sqrt{[x-\xi(\tau)]^2+y^2+z^2}$$

где зависимость $\xi(t)$ задана - это закон движения заряда. Это сводится к нескольким случаям, когда $\tau$ есть решение квадратного ур-ния. Если это решение ур-ния 4-й степени, тут даже Шотт формулы, удобные для анализа, не смог выписать.
Хотя возможно методами Mathematica это удастся сделать - но будет не очень убедительно. Никто такие формулы даже читать не будет и тем более их проверять.

Доказательства инвариантности в общем виде именно потенциалов (а не волнового ур-ния или ур-ний Максвелла) нет. Про процедуру ЛЛ-2 § 63 написано выше. При желании ее можно сравнить с процедурой, описанной в § 5 "Динамики эл-на - волны Ланжевена" Пуанкаре - Пуанкаре также вычисляет поля произвольно движущегося заряда, используя то, что в момент времени когда заряд останавливается, его "волна скорости" совпадает с волной кулоновского поля. Но еще есть волна ускорения, для вычисления которой надо знать выражение для ускорения при нулевой скорости заряда.

Если при зависимости $\xi(t)=a\sqrt{t}$ и вычисленных на оси $x$ потенциалах в знаменателе появляется зависимость еще и от времени (не под знаком квадратного корня), это означает, что потенциалы в новой ИСО будут иметь иную зависимость и формально это можно определить в каком-нибудь эксперименте. По Пуанкаре это нарушение принципа относительности инерциальных систем.

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin

Стало ясно, что эта тема порождена вашим непониманием смысла преобразований от одной ИСО к другой ИСО, и непониманием результатов преобразований. Это ясно из того, что Вы во всех примерах хотели бы обнаруживать вот такую инвариантность:

Onoochin в сообщении #1626125 писал(а):

Инвариантность достигается тогда, когда потенциалы имеют абсолютно такую же зависимость от координат $x,y,z,t$, что и зависимость потенциалов $\Phi', A_x'$ от $x',y',z',t'$.

Такой инвариантности быть не может (кроме случая с гиперболическим движением частицы, которое само инвариантно).

Если Вы не фрик, который заведомо будет до упора отрицать всё написанное в учебниках (извините меня за это сравнение, но уже приходит в голову такая мысль после стольких подробных разъяснений, которые Вы почему-то не восприняли), и если Вы действительно хотите понять преобразования Лоренца, и если модераторы нас тут не остановят за разжёвывание учебников, то я попробую, если пожелаете, пояснить основные моменты подробно, с картинками мировых линий и 4-векторов.

Кстати, Ваш пример с $x_{\text{заряда}}(t)=\sqrt{t}$ я разобрал; разумеется, для области $t>1/4,$ в которой скорость заряда меньше $c=1.$ Всё в этом примере (как и в других примерах) нормально, никаких непоняток и противоречий с теорией нет; можно будет в дальнейшем с этого примера начать и обсудить его подробнее.


Переходя теперь к пояснениям, прежде всего зафиксирую из вашего последнего сообщения то, с чем я полностью согласен (лишь немножко поправлю ваши формулы, заменяя там везде $c$ на $1,$ чтобы все наши форулы выглядели максимально просто)

Onoochin в сообщении #1626125 писал(а):

при преобразовании потенциалов $\Phi, A_x$, вычисленных в одной ИСО, получатся потенциалы $\Phi', A_x'$, которые можно вычислить в другой ИСО:

$$\Phi'=\gamma(\Phi - VA_x),\qquad A_x'=\gamma(A_x -V\Phi)\,, $$

в этих формулах надо сделать следующие замены

$$x = \gamma(x'+Vt'),\qquad t= \gamma(t'+Vx') $$

К этому следует добавить, что речь идёт о переходе к описанию в ИСО', которая в исходной ИСО выглядит движущейся со скоростью $V$ вдоль оси $x,$ и пространственные направления осей выбраны в обеих ИСО одинаково. Другими словами, всё покоящееся относительно ИСО' движется относительно ИСО со скоростью $V_x=V,\,V_y=0,\,V_z=0.$ Коэффициент $\gamma$ это $1/\sqrt{1-V^2}$

Тогда: $A'_y=A_y,$ $A'_z=A_z,$ $y'=y,$ $z'=z.$ Формулы обратного преобразования получаются заменой $V$ на $(-V).$ Совокупность $A_x,A_y,A_z$ в каждй точке $P(x,y,z,t)$ составляет трёхмерный вектор $\mathbf{A}(P).$ Трёхмерные векторы обозначаем жирными буквами. В формулах преобразований Лоренца координаты $x,y,z,t$ и $x',y',z',t'$ относятся к одной и той же точке P пространства-времени. Вместе с потенциалами преобразуются также плотность заряда $\rho$ и плотность тока $\mathbf{j}$

$$\rho'=\gamma(\rho-Vj_x),\qquad j_x'=\gamma(j_x-V\rho)\,.$$

Всё это - закон лоренц-преобразования компонент 4-вектора. Числа $t,x,y,z,$ т.е. $t,\mathbf{r}$ это компоненты 4-мерного радиус-вектора точки P в пространстве-времени. $\Phi(P), \mathbf{A}(P)$ это компоненты $A^i$ 4-потенциала в точке P. $\rho(Q),\mathbf{j}(Q)$ это компоненты $j^i$ 4-вектора тока в точке Q.

В СТО закон лоренц-преобразования любого 4-вектора один и тот же в любой точке пространства-времени, как и закон преобразования самих 4-мерных радиус-векторов (4-координат) точек. Поскольку лоренц-преобразование это линейная оперция над компонентами векторов, то, например, разность 4-координат любых двух точек P и Q, т.е. $t_P-t_Q,\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q$ преобразуется тоже как 4-вектор (это компоненты 4-вектора, проведённого из точки Q в точку P):

$$(x_P-x_Q) = \gamma((x'_P-x'_Q)+V(t'_P-t'_Q)),\qquad (t_P-t_Q)= \gamma((t'_P-t'_Q)+V(x'_P-x'_Q))\,$$

Для любых двух 4-векторов $a^i$ и $b^i$ комбинация $a^kb_k=a_tb_t-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ инвариантна к лоренц-преобразованиям (не меняет своего числового значения): $a^kb_k=a'^kb'_k.$ Разность 4-координат двух близких точек M и N на мировой линии частицы это 4-вектор; его компоненты: $\Delta t,\Delta \mathbf{r}.$ Величина $(\Delta s)^2=(\Delta t)^2-(\Delta r)^2$ инвариантна. Значит, инвариантом является и корень квадратный из этой величины:

$$\Delta s=\sqrt{(\Delta t)^2-(\Delta r)^2}=\Delta t \,\sqrt{1-\left( \frac{\Delta r}{\Delta t}\right )^2}$$

Следовательно, 4-вектор образуют и $\frac{\Delta t}{\Delta s}, \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta s}.$ В пределе, когда точка N стремится к M, получается 4-вектор $u^i(M)$, относщийся к точке M на мировой линии частицы; он называется 4-скоростью частицы в точке M, его компоненты есть

$$\frac{dt}{ds}=\gamma(v),\, \frac{d\mathbf{r}}{ds}= \gamma(v)\, \mathbf{v},$$

где

$$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}, \qquad \gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}},$$

$ \mathbf{v}$ это скорость частицы (относительно исходной ИСО) в мировой точке M.


Пусть $R^i$ это разности 4-координат точки P, лежащей на световом конусе будущего, выходящем из точки Q на мировой линии заряженной частицы (с зарядом $e).$ Т.е. это $t_P-t_Q,\,\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q,$ причём $R^kR_k=0,$ то есть $t_P-t_Q=|\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q|.$ Поскольку $R^i$ это разности 4-координат, то величины $R^i$ при преобразованиях Лоренца преобразуются как компоненты 4-вектора; это светоподобный 4-вектор. Если величину пространственного расстояния (в исходной ИСО, в которой задана мировая линия частицы) между точками P и Q обозначить просто как $R=|\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q|>0,$ то $t_P-t_Q=R.$ Другими словами, $R$ есть расстояние между точками P и Q, которые могут быть связаны световым сигналом, причём точка Q находится на мировой линии заряда в прошлом.

В электродинамике уже более 100 лет известна и с успехом применяется в расчётах (если не в аналитических, когда они оказываются трудными, то в численных) формула запаздывающих потенциалов Лиенара и Вихерта (ЛВ):

$$A^i(P)=e\frac{u^i(Q)}{R^k u_k(Q)}.$$

Понятно из вышесказанного, что эта формула гарантирует правильный закон преобразования для потенциалов - 4-векторный. Ведь в числителе - 4-скорость заряда $u^i(Q),$ являющаяся 4-вектором (т.е. она преобразуется по формулам преобразования Лорена для 4-вектора), в знаменателе - инвариант $R^ku_k(Q),$ заряд $e$ это тоже инвариантная величина. 4-координаты мировых точек P и Q, разумеется, тоже преобразуются по формулам преобразований Лоренца, и этим фактом 4-векторный закон преобразования потенциалов ЛВ никак не портится.

В примерах с произвольно заданой мировой линией заряда и с произвольно выбранной точкой P наблюдения поля невозможно вычислить 4-координаты нужной точки Q, это да, но численно для конкретной мировой линии и конкретной точки P можно вычислить; и вообще вопрос "легко вычислить или трудно" не имеет отношения к утверждению, что потенциалы ЛВ $A^i$ в любой точке P составляют 4-вектор. Это гарантируется самой возможностью выразить потенциалы ЛВ формулой $e\,u^i(Q)/R^ku_k(Q),$ составленной из комбинаций 4-векторов.

В следующем сообщении (правда, не знаю, как скоро его подготовлю) предполагаю проиллюстрировать всё примерами с картинками на плоскости $t,x$ и с переходами к $t',x',$ т.е. от одной ИСО к другой ИСО'. И тем самым постараюсь пояснить главное для Вас: почему при преобразованиях Лоренца форма функциональной зависимости полей от координат не обязана оставаться неизменной.


А в завершение этого сообщения отвечу на вашу несправедливую критику ЛЛ-2.

Onoochin в сообщении #1625980 писал(а):

Потенциал, создаваемый в момент времени, когда частица мгновенно покоится, не "дается кулоновским потенциалом", а совпадает с ним только на момент времени $t'$ - если бы это был кулоновский потенциал, то можно было бы вычислить , что магнитное поле в этот момент равно нулю. Но для вычисления полей надо брать производную, т.е. как минимум выражения для потенциалов в двух соседних точках.

В том месте в ЛЛ-2 слова "кулоновский потенциал" это лишь фигура речи, обусловленная равенствами $\varphi(P) =1/R,$ $\mathbf{A}(P)=0$ в (63.2). Важно, что речь там идёт о потенциале не где угодно, а только в таких точках наблюдения поля P, которые могут быть связаны световым сигналом с точкой Q на мировой линии заряда в прошлом, где скорость заряда была равна нулю. Вы же восприняли потенциал (63.2) как электростатический потенциал во всех точках пространства $x,y,z.$ Это Ваша ошибка (непонимание контекста), а не якобы ошибка ЛЛ-2: в книге в равенствах (63.2) речь идёт лишь о точках наблюдения поля, лежащих на одном определённом световом конусе.

Ландау и Лифшиц не выводят из (63.2) другое выражение, а пишут вместо него другое выражение, более общее, как догадку. Общее не выводится из частного, до общего можно только догадаться.

Догадка там основана на уверенности, что в общем случае в любой точке P наблюдения искомые потенциалы $\varphi(P), \mathbf{A}(P)$ должны образовать 4-вектор $A^i(P),$ и его можно составить из уже имеющихся в задаче 4-векторов. Такой способ рассуждений - самый краткий путь к формулам потенциалов ЛВ. (Авторы учебников часто стремятся к краткости, чтобы не увеличивать в разы количество страниц. Краткость и для лекций удобна, так как на лекциях всегда цейтнот. Подробный же вывод формул студенты обычно изучают по дополнительной литературе, и на занятиях с упражнениями по решению задач.)

Последовательно формула Лиенара-Вихерта выводится из интегральных выражений запаздывающих потенциалов (62.9), (62.10); такой вывод есть, например, в книге: Дж. Джексон "Классическая электродинамика", Гл. 14, §1 (djvu-скан доступен в eqworld.)

[Onoochin]

Onoochin в сообщении #1626125 писал(а):

Стало ясно, что эта тема порождена вашим непониманием смысла преобразований от одной ИСО к другой ИСО, и непониманием результатов преобразований. Это ясно из того, что Вы во всех примерах хотели бы обнаруживать вот такую инвариантность: Onoochin в сообщении #1626125

писал(а):
Инвариантность достигается тогда, когда потенциалы имеют абсолютно такую же зависимость от координат $x,y,z,t$, что и зависимость потенциалов $\Phi', A_x'$ от $x',y',z',t'$. Такой инвариантности быть не может (кроме случая с гиперболическим движением частицы, которое само инвариантно).

Как-то странно читать такое.
Если зависимость потенциалов $\Phi,A_x$ от координат $x,t$ в ИСО будет отличаться от зависимости $\Phi',A_x'$ от координат $x',t'$ в ИСО', то это означает, что физические процессы в разных ИСО идут по разному. Тут вообще ни о какой инвариантности речи быть не может.
Что касается

Цитата:

Такой инвариантности быть не может (кроме случая с гиперболическим движением частицы, которое само инвариантно).

так имеются всего два случая проверки инвариантности и оба случая соответствуют тому, что я написал.
Проверок других случаев нет.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1626245 писал(а):

Понятно из вышесказанного, что эта формула гарантирует правильный закон преобразования для потенциалов - 4-векторный. Ведь в числителе - 4-скорость заряда $u^i(Q),$ являющаяся 4-вектором (т.е. она преобразуется по формулам преобразования Лорена для 4-вектора), в знаменателе - инвариант $R^ku_k(Q),$ заряд $e$ это тоже инвариантная величина. 4-координаты мировых точек P и Q, разумеется, тоже преобразуются по формулам преобразований Лоренца, и этим фактом 4-векторный закон преобразования потенциалов ЛВ никак не портится.

По формулам каких преобразований?
Между двумя ИСО есть единственное преобразование. Ни в одной статье по физике нет преобразования Лоренца запаздывающего времени, потому что это время есть функция: текущего времени $t$, координаты $r$ точки измерения, $r_0(t)$ - координаты заряда, создающего потенциалы.

Что можно одни величины преобразовать по одним формулам Лоренца (с координатами $x,t$) а другие величины с координатами ($x_{ret},t_{ret}$) (в одном и том же выражении для потенциалов) - такого еще никто не придумал.

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin
Я уже подготовил продолжение пояснений (см. ниже численный пример с картинками) и начал его сюда печатать, когда заметил появление вашего текста. Поэтому пока я помещаю здесь свой текст как есть, а на ваш текст отвечу потом, когда изучу его.

И Вы, пожалуйста, пока хорошенько обдумайте это моё сообщение, в совокупности с предыдущими; может быть, оно многое Вам прояснит. Советую Вам не только просмотреть, но и самостоятельно выполнить предлагаемые мной здесь численные расчёты; сопоставьте результат расчётов с картиной на рисунках; вдумайтесь, почему картина здесь нарисована такая, а не какая-то иная. Эти расчёты хоть и совсем элементарные, но очень способствуют обдумыванию формул и лучшему их пониманию. (Поэже предполагаю, если потребуется, продолжить разбор примера уже не численно, а аналитически.) Не делайте, пожалуйста, поспешных заключений.

--------------

В иллюстративном примере ниже полагаю потенциалы зависящими только от $x,t,$ т.е. полагаю $y=z=0.$ Частица с зарядом $e=1$ (источник поля) пусть движется по оси $x.$ Тогда $y$- и $z-$составляющая её скорости $\mathbf{v}$ равны нулю, и поэтому согласно формуле Лиенара--Вихерта (ЛВ) будут равны нулю $y$- и $z-$составляющая потенциала $\mathbf{A}.$ Считаю, что для всех величин выбраны условные единицы измерения: скорость измеряется в долях от $c,$ время $t$ измеряется в единицах длины, т.е.это обычное время, умноженное на скорость света $c,$ ну и остальное всё в том же духе.

(Пример с численным расчётом:)

Пусть в исходной ИСО траектория частицы (заряда) при $t>1/4$ задана формулой $x_{\text{заряда}}=\sqrt{t}.$ Тогда скорость заряда есть $\frac{1}{2\,\sqrt{t}}.$ Сначала для рисунка разберём численный пример, он может быть полезен затем и для численных проверок формул.

Возьмём на мировой линии заряда такую точку Q, в которой, для примера, скорость заряда $v_Q=0.6.$

Находим координаты этой точки Q:

$$t_Q=\frac{1}{4v_Q^2}=0.69(4)\,,\qquad x_Q=\sqrt{t_Q}=\frac{1}{2v_Q}=0.8(3)\,.$$

Для этой точки имеем в исходной ИСО:

$$\gamma(v_Q)=\frac{1}{\sqrt{1-0.6^2}}=\frac{1}{0.8}=1.25,$$

поэтому компоненты 4-скорости, временная и пространственная, есть

$$u_t(Q)=\gamma(v_Q)=1.25\,,\qquad u_x(Q)=\gamma(v_Q)v_(Q)=0.75\,.$$

Квадрат инвариантной величины 4-скорости равен единице, как и должно быть согласно равенству $u_t^2-u_x^2=\gamma^2-\gamma^2v^2=1:$

$$u_t^2-u_x^2=(1.25)^2-(0.75)^2=1\,.$$

Компоненты светоподобного 4-вектора QP, проведённого из точки Q в будущее в точку P, возьмём равными, для примера, единице

$$R_t=t_P-t_Q=1\,,\qquad R_x=x_P-x_Q=1.$$

Тогда координаты точки P есть

$$ t_P=t_Q+R_t=1.69(4)\,,\qquad x_P=x_Q+R_x=1.8(3)\,.$$

Инвариант $R^ku_k(Q)$ равен

$$R^ku_k(Q)=R_tu_t-R_xu_x=0.5\,.$$

Разделим на это число компоненты 4-скорости $u^i(Q),$ тем самым получим согласно формуле ЛВ компоненты запаздывающего 4-потенциала $A^i(P) = u^i/R^ku_k$ в точке P:

$$\Phi=A_t=\frac{u_t}{R^ku_k}=\frac{1.25}{0.5}=2.5\,,\qquad A_x=\frac{u_x}{R^ku_k}=\frac{0.75}{0.5}=1.5\,.$$

Квадрат инвариантной величины 4-потенциала в точке P:

$$A_t^2-A_x^2=(2.5)^2-(1.5)^2=4\,.$$

На рис. 1 изображены в исходной ИСО: мировая линия заряда (парабола $t=x^2),$ точки Q и P, светоподобный отрезок QP (он изображён красной линией), вектор 4-скорости заряда в точке Q (он изображён синей стрелкой и обозначен как $u)$ и вектор 4-потенциала в точке P (обозначен как A). Длина векторов показана схематично, без масштаба, так как координаты, компоненты 4-вектора $u,$ и компоненты 4-вектора $A$ имеют разную размерность и не могут быть сравнены друг с другом безусловным образом на таком рисунке

Рис. 1, картина в исходной ИСО:



Как видим, формула потенциалов ЛВ даёт довольно простую картину: в любой точке Q мировой линии заряда вектор 4-скорости $u(Q)$ является касательным вектором в данной точке, ему параллелен и им определяется вектор 4-потенциала $A(P)$ в точке P, расположенной в будущем точки Q на светоподобном отрезке QP.

Теперь аналогично представьте себе не один отрезок QP, как на рисунке, а непрерывное множество световых конусов с вершинами в точках мировой линии заряда: из каждой точки мировой линии выходит световой конус, направленный в будущее. Касательными векторами мировой линии, расположенными в вершинах этих конусов, определяются потенциалы вдоль световых конусов. Вот так и получается, что с мировой линией заряда связана картина порождаемых этим зарядом потенциалов во всём окружающем пространстве-времени.

Понятно, что если в начале задачи задать мировую линию другой формы, то и функциональная зависимость потенциалов от координат точек пространства-времени получится другой.


Переход к картине в другой ИСО' в том же численном примере:

Теперь проверим, что переход к новой ИСО' не ведёт к противоречиям, не наталкивается на какие-либо неожиданности. Сначала составим план этого "мартышкиного труда": что конкретно проверять? Ведь заранее понятно, что координаты прежних мировых точек P и Q в новой ИСO' окажутся отличными от исходных. По-новому будет выглядеть и форма мировой линии заряда; поэтому новой будет скорость заряда $v'_Q$ в прежней точке Q, а значит новыми будут и компоненты 4-скорости - числа $u'^i(Q).$ А поскольку это компоненты 4-вектора, они обязаны совпасть с результатом лоренц-преобразования исходных $u^i(Q).$ Значит, и формула ЛВ $A'^i = u'^i/R'^ku'_k,$ где $R'^ku'_k=R^ku_k$ есть инвариант, заведомо даст в точке P те же числа, что и просто лоренц-преобразование исходных чисел $A^i.$

Для иллюстрации возьмём самый простой частный случай - в котором результат расчёта потенциалов по формуле ЛВ $A'^i = u'^i/R'^ku'_k$ легко предсказывается "в уме". Пусть скорость новой ИСО' $V$ относительно исходной ИСО равна скорости заряда в исходной ИСО в точке Q, т.е. $V=v_Q=0.6.$ В такой новой ИСО' скорость заряда в точке Q равна нулю, $v'_Q=0.$ Из этого факта делаем предсказания (которые затем и проверим лоренц-преобразованием):

a) x-компонента 4-скорости заряда в точке Q равна нулю: $u'_x(Q)=0.$ Поскольку нам известен инвариант $u'_t^2-u'_x^2 = u_t^2-u_x^2=1,$ то временная компонента 4-скорости в точке Q будет равна единице: $u'_t=1.$


б) Нам уже известна величина $R^ku_k=0.5.$ Это инвариант, так что $R'^ku'_k=0.5.$ Значит, $A'_x=u'_x/R'^ku'_k=0,$ $A'_t=u'_t/R'^ku'_k=1/0.5=2.$ Т.е. предсказываемые значения потенциалов ЛВ в точке P есть $A'_x=0$ и $\Phi'=A'_t=2.$ Разумеется, это согласуется с уже известным нам значением инварианта $A'_t^2-A'_x^2=A_t^2-A_x^2=4$ в точке P.


в) Из равенства $0.5=R'^ku'_k=R'_tu'_t-R'_xu'_x$ видно с учётом (а), что $R'_t=0.5.$ Поскольку это компонента светоподобного вектора (проведённого из точки Q в точку P), то $R'_x=R'_t=0.5.$ Таким образом для разностей координат точек Q и P должны получиться значения

$$x'_P-x'_Q=0.5\,,\qquad t'_P-t'_Q=0.5\,.$$

Заодно заметим, что величина $R=x'_P-x'_Q=0.5$ является в ИСО' пространственным расстоянием между точкой покоя Q заряда и точкой P, в которой согласно пункту (б) скалярный потенциал равен $\Phi'=2.$ Видно, что численно выполняется "кулоновское" равенство $\Phi=1/R$ (как и должно быть по ЛЛ-2 для случая с $v'_Q=0).$


Итак, план у меня вот какой: проверим все эти предсказания (а), (б) и (в) лоренц-преобразованиями с $V=0.6.$

При этом $\gamma = 1/0.8 = 1.25\,.$


Формулы лоренц-преобразований компонент 4-вектора от нештрихованных к штрихованным, как мы знаем, применительно к координатам имеют вид

$$x' = \gamma(x-Vt),\qquad t'= \gamma(t-Vx)\,. $$

Для координат точек Q и P эти формулы дают:

$$x'_Q=0.5208(3)\,,\qquad t'_Q=0.2430(5)\,,$$

$$x'_P=1.0208(3)\,,\qquad t'_P=0.7430(5)\,.$$

Видно, что ожидаемые в пункте (в) значения разностей координат подтвердились. Аналогичные лоренц-преобразования для компонент 4-скорости и потенциала также дают ожидаемые значения - те, которые указаны выше в пунктах (а) и (б). Результат:

$$u'_x(Q)=0\,,\qquad u'_t(Q)=1\,,$$

$$A'_x(P)=0\,,\qquad A'_t(P)=2\,.$$

Всё это изображено ниже на рис. 2, вместе с мировой линией заряда $x'_{\text{заряда}}(t').$

Форма мировой линии заряда на рис. 2 ожидаемым образом отличается от формы этой мировой линии на рис. 1. Кроме "гиперболического движения", которое описывается инвариантным уравнением, в остальных случаях мировая линия описывается в разных ИСО разными уравнениями и поэтому изображается там различающимися графиками. Это такой же факт, как и тот, что координаты любой мировой точки (за исключением начала координат O) различаются в разных ИСО.

Подстановка $x=\sqrt{t}$ или $t=x^2$ в формулы лоренц-преобразований координат даёт параметрическое описание мировой линии заряда:

$$x'_{\text{заряда}}=\gamma(x-Vx^2)\,,\qquad t'_{\text{заряда}}=\gamma(x^2-Vx)\,.$$

Здесь $x$ служит переменной, которая маркирует точки мировой линии. Перебирая числовые значения $x$ с мелким шагом, можно затем построить график $x'_{\text{заряда}}(t').$ Такой график показан на рис. 2, изображающем в новой ИСО' те же события, что и рис.1 в исходной ИСО.

Рис. 2, картина в новой ИСО', движущейся относительно исходной ИСО со скоростью $V=0.6:$

Из рассмотренного примера ясно, почему потенциалы $\Phi', A_x'$ зависят от $x',t'$ не так, как потенциалы $\Phi, A_x$ зависят от $x,t.$ Зависимость потенциалов от координат в данной ИСО определяется формой мировой линии заряда (посредством световых конусов, идущих в будущее из точек мировой линии заряда). Форма эта в общем случае не инвариантна - в одной ИСО мировая линия описывается функцией $x(t),$ а в другой ИСО - другой функцией: $x'(t'),$ которая получается лоренц-преобразованием функции $x(t).$

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin в сообщении #1626450 писал(а):

Что можно одни величины преобразовать по одним формулам Лоренца (с координатами $x,t$) а другие величины с координатами ($x_{ret},t_{ret}$) (в одном и том же выражении для потенциалов) - такого еще никто не придумал.

Это и придумывать-то как-то специально не надо, это обычное преобразование Лоренца, просто Вы этот факт ещё пока не осознаёте.

Любые функции можно представлять себе описанными таблично: таблица численных значений аргументов и соответствующих им численных значений функции.

Каждой мировой точке, скажем точке P (эта буква взята от английского слова point - точка, она символизирует произвольную точку, её можно понимать как переменную, как аргумент функций) в пространстве-времени соответствует в заданной ИСО свой набор чисел-координат $x,t.$

Допустим, мы задали себе для рассмотрения значений потенциалов конкретную точку P в пространстве-времени. Представьте себе световой конус, уходящий из точки P в прошлое. Этот конус пересекается с мировой линией заряда (который в задаче считается источником поля) в некоторой мировой точке Q. Как бы ни было трудно (или наоборот легко) тому или иному человеку найти в конкретной задаче эту точку пересечения Q, но она ведь существует. И как всякая точка пространства-времени эта точка Q тоже имеет свои координаты в той же ИСО, эти координаты и есть $x_{ret},t_{ret}.$

Т.е. для конкретной пары точек в пространстве-времени, P и Q, существуют в заданной ИСО при заданной мировой линии заряда конкретные числовые значения их координат, это $x,t$ для точки P и $x_{ret},t_{ret}$ для точки Q.

При переходе к описанию этой же мировой картины в другой ИСО' координаты точек P и Q, (как и координаты вообще всех точек в пространтстве-времени!) совершенно спокойненько преобразуются по обычным формулам преобразования Лоренца (выше в сообщениях эти формулы преобразований Лоренца уже не один раз были выписаны).

Именно это написано во всех учебниках - координаты всех точек пространства-времени преобразуются по одним и тем же формулам преобразований Лоренца. Это верно вне зависимости от того, связаны ли точки пространственно-подобным интервалом (так что нельзя сказать, какая из них будущая, а какая прошлая), или времени-подобным или светоподобным интервалом (тогда одна из двух точек лежит в прошлом по отношению к другой в любой ИСО). Это азы теории относительности, Вам следует их знать и понимать, если берётесь обсуждать запаздывающие потенциалы и вообще электродинамику или релятивистскую физику.

А световые конусы можно и по другому выбирать - очевидно, что можно рисовать световой конус из заданной точки Q, лежащей на мировой линии заряда, в будущее этой точки. Тогда точка P, в которой мы можем вычислить потенциалы ЛВ, это любая точка на таком конусе. Отрезок QP всё равно получается светоподобным вектором; его компоненты это $x-x_{ret},\, t-t_{ret}.$ Они, как и разности координат вообще любых мировых точек преобразуются по тем же самым формулам Лоренца.

Причём, светоподобный отрезок остаётся светоподобным (про этот факт тоже написано во всех учебниках); в двумерном случае (т.е. при $y=z=y'=z'=0$ у всех мировых точек) для светоподобного отрезка верны равенства:

$$x-x_{ret}=t-t_{ret}\,,\qquad x'-x'_{ret}=t'-t'_{ret}\,.$$

[Onoochin]

Я извиняюсь, но мы пишем о разных вещах. В предыдущем посте (с вычислениями) Вы заранее принимаете, что запаздывающее времяя Вам известно. Это не так. Наиболее строгое решение волнового ур-ния дается через функцию Грина и ее свертку с источником (постоянные опущены)

$$ \varphi(r,t)=\int \delta [c^2(t-\tau)^2-|{\bf r}-{\bf r}'|^2] \theta(t-\tau) f({\bf r}'-{\bf r}_0(\tau))d \tau d^3 r' \, ; \qquad (1)$$

где $\delta [c^2(t-\tau)^2-|{\bf r}-{\bf r}'|^2] $ - функция Грина волнового ур-ния, $\theta(t-\tau)$ - ф-я Хевисайда, обрезает опережающие решения, $ f({\bf r}'-{\bf r}_0(\tau))$ - функция, описывающая источник (заряд), где $r_0(t)$ заданный закон движения центра заряда.
Для точечного заряда берут $f= \delta({\bf r}'-{\bf r}_0(\tau))$, для сферического источника постоянной плотности можно взять $f= \theta\vert\vert{\bf r}_0(\tau)+{\bf R}\vert -{\bf r}'\vert$, тогда $R$ - радиус сферы.

Из формулы (1) следует, что потенциал зависит лишь от координат и времени точки наблюдения - и еще от $r_0(t)$ - но тут время текущее (время наблюдения). Никаких других времен в формулу для потенциалов войти не может.

Поэтому когда Вы делаете преобразования Лоренца в потенциале, то Вы должны делать преобразования Лоренца всех координат, в том числе, входящих в выражение для скорости.
Этого Вы разумеется сделать не можете, потому что Вы не можете в самом общем виде определить, как та величина, которая у ЛЛ-2 определяется как 4-скорость, зависит от текущих координат.

Даже в том примере, когда $R_t=1,\,R_x=1$ - это выбранный случай, реализуемый в единственный момент времени. В общем случае будет

$$ R_t=c(t-t')\,;\,\, R_x=x-x_0(t') $$

потому что в выражениях для потенциалов ЛВ координата заряда в запаздывающий момент времени содержится. Даже если мы знаем это запаздывающее время, из этого не следует, что

$$R^k u^k= c(t-t') - [x- x_0(t)]\cdot v_x(t') - [y- y_0(t)]\cdot v_y(t')- [z- z_0(t)]\cdot v_z(t')$$

есть инвариант. Это надо доказывать и непонятно, как доказывать, потому что координата заряда явно зависит от времени, пусть и запаздывающего.

Далее. У нас разное определение инвариантности. Свое (т.е. по Пуанкаре) я привел. Из этого определения инвариантности однозначно следует, что зависимость потенциалов $\Phi,A_x$ от координат $x,t$ в ИСО обязана быть такой же, как зависимость $\Phi',A_x'$ от координат $x',t'$ в ИСО'.
Почему? Потому что из статей Эйнштейна и Пуанкаре следует, что форма дифференциальных ур-ний (Максвелла) для $E(x,t),\,H(x,t)$ (производные записаны в $x,t$) в точности совпадает с формой дифференциальных ур-ний для $E'(x',t'),\,H'(x',t')$ (производные записаны в $x',t'$).
Поэтому когда в ИСО' в знаменателе выражения для потеннциала появляется лишняя величина $t$, то найдя поля из этих потенциалов в двух ИСО и составив ур-ния Максвелла мы обнаружим, что ур-ния в двух ИСО - разные.

[sergey zhukov]

(Оффтоп)

Onoochin
Трудно помогать людям, которые, хотя и знают, что неправы, все равно стоят на своем. Вы же прекрасно понимаете, что инвариантность всегда имеет место, нужно просто правильно ее понимать и правильно использовать преобазования. А вы вместо того, чтобы сказать "ок, я чего-то не понимаю, прочту как я еще раз то, что мне ответили" начинаете спорить. Зачем спорить, если вы знаете, что не можете оказаться правым?

[svv]

Заранее приношу извинения, если такой аргумент уже приводился в теме.

Пусть в ИСО $S'$ точечный заряд $q$ неподвижен и находится в начале координат. Компоненты 4-потенциала
$\varphi'=\frac q{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}, \;A'_x=A'_y=A'_z=0$
Скалярный потенциал не зависит от времени $t'$.

Если $S'$ движется относительно ИСО $S$ со скоростью $\mathbf v$, то в $S$ наш заряд движется с той же скоростью, а потому его скалярный потенциал $\varphi$ зависит от времени $t$, а векторный потенциал $\mathbf A$ будет ненулевым. То есть зависимости $(\varphi',A_x',A_y',A_z')$ от $(t',x',y',z')$ никак не могут быть теми же, что зависимости $(\varphi,A_x,A_y,A_z)$ от $(t,x,y,z)$.

И как это по-Вашему называется, отсутствие инвариантности?

Вот Ваша ошибка:

Onoochin в сообщении #1626544 писал(а):

форма дифференциальных ур-ний (Максвелла) для $E(x,t),\,H(x,t)$ (производные записаны в $x,t$) в точности совпадает с формой дифференциальных ур-ний для $E'(x',t'),\,H'(x',t')$ (производные записаны в $x',t'$)

Это верно. Но отсюда не следует, что

Onoochin в сообщении #1626544 писал(а):

зависимость потенциалов $\Phi,A_x$ от координат $x,t$ в ИСО обязана быть такой же, как зависимость $\Phi',A_x'$ от координат $x',t'$ в ИСО'

[talash]

Тема заведена в дискуссионном разделе. Onoochin, Вы считаете, что хорошо понимаете в теме, поэтому её завели в этом разделе? А не могли бы Вы предложить метод определения абсолютной скорости ИСО, то есть, её скорости относительно эфира? Я так понимаю, раз нет инвариантности, значит есть эфир(Абсолютная СО) и должен быть такой метод.

[Cos(x-pi/2)]

Ой, не надо провоцировать топикстартера на разговоры про эфир . Видно же, что он попросту не понимает преобразований Лоренца.

Когда ТС утверждает, что "физические процессы в разных ИСО должны идти одинаково", то он подразумевает сравнение полей, создаваемых двумя разными источниками - зарядом, летающим внутри неподвижного вагона, и зарядом, аналогично летающим внутри движущегося вагона. Обе такие картины полей с процессами полётов зарядов-источников (каждая картина - внутри своего вагона) конечно получатся одинаковыми. Но преобразование Лоренца имеет другой смысл: это переход от описания физического процесса неподвижным наблюдателем к описанию того же самого процесса движущимся наблюдателем. Т.е. из двух вагонов, движущихся относительно друг друга, наблюдается один и тот же процесс, внешний по отношению к вагонам; такие наблюдения различаются.

[Onoochin]

svv в сообщении #1626561 писал(а):

Заранее приношу извинения, если такой аргумент уже приводился в теме.

Пусть в ИСО $S'$ точечный заряд $q$ неподвижен и находится в начале координат. Компоненты 4-потенциала
$\varphi'=\frac q{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}, \;A'_x=A'_y=A'_z=0$
Скалярный потенциал не зависит от времени $t'$.

Если $S'$ движется относительно ИСО $S$ со скоростью $\mathbf v$, то в $S$ наш заряд движется с той же скоростью, а потому его скалярный потенциал $\varphi$ зависит от времени $t$, а векторный потенциал $\mathbf A$ будет ненулевым. То есть зависимости $(\varphi',A_x',A_y',A_z')$ от $(t',x',y',z')$ никак не могут быть теми же, что зависимости $(\varphi,A_x,A_y,A_z)$ от $(t,x,y,z)$.

И как это по-Вашему называется, отсутствие инвариантности?

В посте от 16.01 я объяснил, что

Цитата:

Есть некоторая проблема в преобразованиях потенциалов $\Phi, A_x$, взятых при нулевой скорости заряда - тогда для равномерного движения кулоновский потенциал переходит в потенциал ЛВ этого движения. Но зависимости потенциалов от координат разные. Также из потенциалов равноускоренного движения, взятых при $t=0$ невозможно получить потенциалы, взятые при произвольном времени.
Но обратные преобразования: потенциал ЛВ равномерного движения преобразуется в кулоновский и потенциалы Шотта при $t\neq 0$ преобразуются в его же потенциалы, взятые при $t=0$ - это должно выполняться всегда.

Поэтому делать выводы об инвариантности для exceptional case будет некорректно. Но например, потенциалы Шотта создаваемые зарядом, движущимся с ненулевой скоростью $v_{ch}$ (в какой-то момент времени) преобразованиями Лоренца со скоростью $V$ переводятся в те же потенциалы Шотта - это легко проверить. Т.е. для них инвариантность сохраняется.
То же самое для потенциалов равномерно движущегося заряда. Главное, чтобы соблюдалось условие $v\neq V$.

Что касается зависимостей потенциалов от координат в двух ИСО, то если, как Вы утверждаете, зависимость потенциалов $\Phi,A_x$ от координат $x,t$ в ИСО не такая, как зависимость $\Phi',A_x'$ от координат $x',t'$ в ИСО' (для самого общего случая, т.е. источник полей движется в обеих ИСО ), то Вы получите разные формы ур-ний Максвелла.
Тогда в чем ценность статьи Эйнштейна?

-- 21.01.2024, 19:14 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1626601 писал(а):

Ой, не надо провоцировать топикстартера на разговоры про эфир . Видно же, что он попросту не понимает преобразований Лоренца.

Когда ТС утверждает, что "физические процессы в разных ИСО должны идти одинаково", то он подразумевает сравнение полей, создаваемых двумя разными источниками - зарядом, летающим внутри неподвижного вагона, и зарядом, аналогично летающим внутри движущегося вагона.

Во-первых, я не утверждаю, я привожу правильное определение принципа относительности.
Во-вторых, ничего я не подразумеваю. Есть поля, регистрируемые в одной ИСО и есть те же самые поля, но регистрируемые в другой ИСО. Поля просто обязаны создаваться одним и тем же источником, но также измеряемым в разных ИСО. В статье 1905 Эйнштейна и статье 1906 Пуанкаре есть формулы, как связаны эти измерения. Надеюсь, это понятно.

Теперь хотелось бы определиться с одним пунктом (есть и другие спорные)
Вы утверждаете, что

Цитата:

б) Нам уже известна величина $R^ku_k=0.5.$ Это инвариант,

У Шотта этот "инвариант" вычислен в текущих координатах. Это $KR$ (формула (82) или формула (84) для потенциалов - ссылаюсь, чтобы не было вопросов, откуда я это взял). Поскольку скалярный потенциал $\Phi=1/KR$, $c\equiv 1,\,q=1$ и векторный потенциал $A_x=v\Phi$, то в формуле для преобразований потенциалов получаем

$$ \Phi'=\gamma \left(\frac{1}{KR}-\frac{v^2}{KR} \right)$$

или ($KR$ - инвариант!)

$$\frac{1}{KR}=\sqrt{1-v^2}\frac{1}{KR}\,\,\to\,\, 1=\sqrt{1-v^2}$$

То есть даже для релятивистски инвариантных потенциалов (в смысле, что они преобразуются по Лоренцу) эта величина не инвариантна.