Почему пропадает инвариантность в решениях для полей?

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin

Тема о лоренц-инвариантности уравнений физики - азбучная. Т.е. она со времён Пуанкаре и Эйнштейна уже многократно обдумана физиками и давно вошла в учебники. Все азы проверены практикой, притом разнообразной. Например, люди изучают взаимодействия частиц, и, оказывается, данные опытов по рассеянию и реакциям частиц подтверждаются расчётами в разных ИСО. На основе принципа релятивистской инвариантности уравнений физики построены теории новых полей, и новые частицы, кванты этих полей, успешно обнаружены. Наблюдения электромагнитных полей от неподвижных и по-разному движущихся источников (полей от заряженных частиц в приборах, в ускорителях, от статических зарядов и магнитов, от антенн для радиолокации и радиосвязи, и от источников света) - всё у физиков согласуется с расчётами.

А у Вас вдруг на ровном месте "пропадает инвариантность"...

Делаю ещё одну попытку пояснить азбучные вещи:

Уравнения электродинамики (в упрощённой для форума записи - с $x$ и $t$ вместо четырёх координат) это два волновых уравнения:

$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}=\rho,$$

$$\frac{\partial^2 A_x}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2}=j_x.$$

Их инвариантность к преобразованиям Лоренца следует не "из статей Эйнштейна и Пуанкаре", а из математики, из самой формы уравнений. В этом легко убедиться. Представим себе, что при заданном токе-источнике $(\rho,j_x)$ уравнения решены и стали верными равенствами. Аргументы $x,t$ функций в них математика позволяет рассматривать как функции штрихованных переменных $x',t',$ записанных по формулам обратного лоренц-преобразования:

$$x=\gamma(x'+Vt'),\qquad t=\gamma(t'+Vx').$$

Понятно, что потенциалы $(\Phi,A_x)$ и функции-источник $(\rho,j_x),$ определённым образом зависящие от $x,t$, как-то иначе зависят от штрихованных переменных $x',t'.$ Т.е. после указанного перехода к другим переменным функциональная зависимость изменилась - все наши функции зависят от переменных $x'$ и $t'$ в общем случае не так, как от $x$ и $t.$

Производные по нештрихованным переменным легко переписать по правилу дифференцирования сложной функции через производные по штрихованным переменным и затем учесть формулы лоренц-преобразования

$$x'=\gamma(x-Vt),\qquad t'=\gamma(t-Vx).$$

Например, первая производная по $t$ от $\Phi$ есть:

$$\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\frac{\partial \Phi}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial t}+\frac{\partial \Phi}{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial t}=$$

$$=\frac{\partial \Phi}{\partial t'}\gamma + \frac{\partial \Phi}{\partial x'}(-\gamma V).$$

Продолжив таким путём выписывать производные и составив из них требуемую волновым уравнением комбинацию (порядка десяти строк занимает такое упражнение, промежуточные выкладки здесь не пишу), увидим, что наше верное равенство приняло вид:

$$(\gamma^2-\gamma^2V^2)\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t'^2}-(\gamma^2-\gamma^2V^2) \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x'^2}=\rho.$$

Но $(\gamma^2-\gamma^2V^2)=1.$ Значит:

$$\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t'^2} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x'^2}=\rho.$$

То есть, инвариантной к лоренц-преобразованиям оказалась сама комбинация операторов дифференцирования, присутствующая в волновом уравнении: $\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}=\frac{\partial^2}{\partial t'^2}-\frac{\partial^2}{\partial x'^2}.$ Поэтому для $A_x$ аналогично получаем:

$$\frac{\partial^2 A_x}{\partial t'^2} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial x'^2}=j_x.$$

Но этот переход к описанию в штрихованной ИСО' ещё не завершён, потому что не только координаты, но и наблюдаемые в опытах значения плотности заряда $\rho$ и плотности тока $j_x$ при наблюдении из другой ИСО' должны измениться. А именно: вследствие изменения наблюдаемой скорости зарядов и их плотности (из-за релятивистского "эффекта сокращения длины") функции-источники $\rho$ и $j_x$ преобразуются подобно координатам, как компоненты 4-вектора:

$$j_x'=\gamma(j_x-V\rho),\qquad \rho'=\gamma(\rho-Vj_x).$$

Чтобы получить такие величины в равенствах с потенциалами и тем самым завершить переход к описанию к штрихованной ИСО', надо из полученной пары равенств для потенциалов составить пару линейных комбинаций с коэффициентами $\gamma$ и $-\gamma V.$ Эти коэффициенты не зависят от координат, поэтому их можно вносить под знаки дифференцирования. Таким образом видим, что линейные комбинации потенциалов

$$A_x'=\gamma(A_x-V\Phi),\qquad \Phi'=\gamma(\Phi-VA_x),$$

являющиеся решениями в исходной ИСО, являются решениями волновых уравнений и в новой ИСO', с штрихованными источниками:

$$\frac{\partial^2\Phi'}{\partial t'^2}-\frac{\partial^2\Phi'}{\partial x'^2}=\rho',$$

$$\frac{\partial^2 A'_x}{\partial t'^2}-\frac{\partial^2 A'_x}{\partial x'^2}=j'_x.$$

Видно, что волновые уравнения инвариантны - одинаковы по форме во всех ИСО; этим фактом выражен принцип относительности, утверждающий равноправие всех ИСО. А функциональная форма решений не обязана оставаться неизменной: она изменяется при переходе от описания в одной ИСО к описанию в другой ИСО из-за различия описаний источника поля в разных ИСО.

У Вас каким-то чудом уживаются друг с другом верная мысль

Onoochin в сообщении #1626720 писал(а):

Есть поля, регистрируемые в одной ИСО и есть те же самые поля, но регистрируемые в другой ИСО. Поля просто обязаны создаваться одним и тем же источником, но также измеряемым в разных ИСО.

и ошибочное пожелание, чтобы во всех примерах выполнялась вот такая инвариантность:

Onoochin в сообщении #1626125 писал(а):

Инвариантность достигается тогда, когда потенциалы имеют абсолютно такую же зависимость от координат $x,y,z,t$, что и зависимость потенциалов $\Phi', A_x'$ от $x',y',z',t'$.

Вот ещё ваше ошибочное заявление:

Onoochin в сообщении #1626720 писал(а):

если, как Вы утверждаете, зависимость потенциалов $\Phi,A_x$ от координат $x,t$ в ИСО не такая, как зависимость $\Phi',A_x'$ от координат $x',t'$ в ИСО' (для самого общего случая, т.е. источник полей движется в обеих ИСО ), то Вы получите разные формы ур-ний Максвелла.

Форма уравнений Максвелла не изменится. И форма волновых уравнений для потенциалов не изменяется (выше продемонстрирован способ в этом убедиться). Но у функций-источников $\rho',j_x'$ зависимость от координат $x',t'$ в ИСО' не такая же в общем случае, как зависимость $\rho,j_x$ от координат $x,t$ в исходной ИСО. Вот поэтому и получается зависимость потенциалов $\Phi,A_x$ от координат $x,t$ в ИСО не такая, как зависимость $\Phi',A_x'$ от координат $x',t'$ в ИСО'.

Это ясно не только из математики, но и из физических соображений. Есть же очевидный пример:

Допустим, стоит столб с фонарём - источник света; свет описывается электромагнитным полем. Тогда наблюдатель, находящийся, например, в начале отсчёта ИСО, неподвижной относительно фонаря, видит стационарную картину. А наблюдатель в начале отсчёта движущейся ИСО' видит изменяющуюся со временем картину: яркость света меняется при приближении к фонарю и затем при удалении от него (и спектр частот сдвигается из-за эффекта Доплера). Другой пример, ещё более простой, привёл svv. Возьмём вместо фонаря неподвижную частицу с зарядом. Тогда неподвижные наблюдатели обнаружат электростатическое поле, магнитное будет равно нулю; а движущиеся наблюдатели обнаружат изменяющиеся со временем электрическое и магнитное поля.


Насчёт "определиться с одним пунктом":

Onoochin в сообщении #1626720 писал(а):

Вы утверждаете, что

Цитата:

б) Нам уже известна величина $R^ku_k=0.5.$ Это инвариант

У Шотта этот "инвариант" вычислен в текущих координатах. Это $KR$

Нет, инвариант $R^ku_k$ не есть $KR.$ Если пользоваться обозначениями Шотта, а именно величинами $k$ и $s,$ то $R^iu_i=ks/2,$ - это инвариант.

Кстати, формулы Шотта для потенциалов довольно просто получаются из потенциалов ЛВ $A^m=u^m/R^iu_i.$ В свою очередь эта формула ЛВ может быть выведена в том числе и упоминавшимся Вами методом функции Грина.

Формула ЛВ $A^m=u^m/R^iu_i$ гарантирует правильный закон лоренц-преобразования потенциалов: видно, что потенциалы $A^m$ преобразуются как числитель этой формулы, т.е. как компоненты 4-вектора $u^m.$ Это 4-вектор скорости на мировой линии частицы-источника в точке Q, которая связана светоподобным интервалом с точкой P наблюдения поля. Знаменатель формулы ЛВ есть инвариантное к лоренц-преобразованиям скалярное произведение двух 4-векторов, поэтому 4-потенциал $u^m/R^iu_i$ преобразуется именно как числитель.

Если заряд произвольным образом движется только по оси $x,$ так что его координаты на осях $y$ и $z$ всё время равны нулю, то 4-скорость в точке Q имеет временную компоненту $u_t=\gamma_Q$ и х-компоненту $u_x=\gamma_Qv_Q,$ где:

$v_Q$ - скорость частицы (относительно данной ИСО) в точке Q,

$\gamma_Q=1/\sqrt{1-v_Q^2}.$

Остальные две компоненты 4-скорости всё время равны нулю: $u_y=u_z=0.$ Ниже речь о таких случаях.

Компоненты 4-вектора $(R_t,\,\mathbf{R})$ это

$$R_t=(t-t_Q),\, R_x=(x-x_Q), \,R_y=y,\,R_z=z,$$

где $t,x,y,z$ это координаты точки наблюдения P, а переменные с меткой Q это координаты точки Q. Причём:

$R_t=|\mathbf{R}|=\sqrt{(x-x_Q)^2+r^2}=R,$

где $r^2=y^2+z^2.$ Функция $x_Q(t)$ задаёт траекторию заряда.

(В частности, в задаче с гиперболическим движением, рассмотренной Шоттом:

$x_Q(t)=\sqrt{k^2+t^2}$, здесь $k>0$ - инвариантный параметр).

Равенство $R_t=|\mathbf{R}|$ неявно определяет момент времени $t_Q$ как функцию от переменных $t,x,r.$

Инвариантная величина

$$R^ku_k=R_tu_t-R_xu_x-R_yu_y-R_zy_z$$

с учётом $u_y=u_z=0$ равна

$$R_tu_t-R_xu_x=\gamma_Q(R-R_xv_Q)=\gamma_Q((t-t_Q)-(x-x_Q)v_Q)).$$

Значит, потенциалы в точке P есть

$$\Phi=A_t=\frac{u_t}{R^ku_k}=\frac{\gamma_Q}{\gamma_Q(R-R_xv_Q)}=\frac{1}{R-R_xv_Q},$$

$$A_x = \frac{u_x}{R^ku_k}= \frac{\gamma_Q v_Q}{\gamma_Q(R-R_xv_Q)} = \frac{v_Q}{R-R_xv_Q}=v_Q\Phi,$$

$$A_y=A_z=0.$$

Ни $v_Q,$ ни $R-R_xv_Q$ не являются инвариантными величинами. Инвариантна комбинация $\gamma_Q(R-R_xv_Q)=R^ku_k.$ Этот факт можно использовать в конкретных примерах для упрощения вычислений, в том числе - в примере Шотта. "Нарушений" инвариантности или законов преобразования, требуемых общей теорией, нигде не встречается.

[Cos(x-pi/2)]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1626864 писал(а):

Если пользоваться обозначениями Шотта, а именно величинами $k$ и $s,$ то $R^iu_i=ks/2$

Извините, здесь я ошибочно не туда $k$ написал, надо в знаменатель. Правильно вот так: $R^iu_i=s/2k.$ Это инвариантная величина. (Величины $s$ и $k,$ присутствующие в формулах Шотта, инвариантны к лоренц-преобразованиям вдоль x-оси.)

Заодно исправлю опечатку в своём старом тексте, который с численным примером; пропустил там в одном месте штрих у буквы $\Phi.$ Правильно вот так: "Видно, что численно выполняется "кулоновское" равенство $\Phi'=1/R$ (как и должно быть...".

[Onoochin]

Cos(x-pi/2),

Вы что мне доказываете?
Что волновое ур-ние инвариантно относительно преобразований Лоренца, показал еще Пуанкаре - он и вывел групу Лоренца и прочее. Это я написал в первом посте на эту тему.
Я задал вопрос - будут ли инвариантны решения этого волнового ур-ния[?
Док-ва для общего случая инвариантности (или ковариантности, если рассматривать потенциалы как компоненты 4-вектора) нет.
Если в решении для потенциалов (и полей) в знаменателе как минимум $x,t$ входят в комбинации $x-ct$, то решения инвариантны, потому что форма $x-ct$ сохраняется. Но если переменные входят в решение не в этой комбинации?
Повторяю еще раз. Шотт рассмотрел несколько случаев, когда можно получить решение, выраженное в текущих координатах. Только для этих случаев можно проверить инвариантность. Объяснять, почему для решения, выраженного в запаздывающем времени проверка невозможна, не буду - я уже объяснял ($t'$ есть сложная и неизвестная функция от $x,y,z,t$).
Шотт теорию Эйнштейна если не изучал, но знал, что есть такая. Сам он придерживался теории Лоренца. Поэтому часть его решений - нефизические с точки зрения ТО. Но есть решение, взятое на той оси, по которой движется заряд $\xi(t)= a\sqrt{t}$ - его можно использовать для проверки, т.к. потенциалы выражены в удобной форме. Этот пример как-то выбивается из проверки на инвариантность. Вопрос: почему?
В этом и состоит мой вопрос

Cos(x-pi/2) в сообщении #1626864 писал(а):

Нет, инвариант $R^ku_k$ не есть $KR.$ Если пользоваться обозначениями Шотта, а именно величинами $k$ и $s,$ то $R^iu_i=s/2k,$ - это инвариант

Формула $A^i=u^i/R^ku^k$ взята из ЛЛ-2 § 63. Вот что там написано:
"где $u^k$ - 4-скорость заряда, а 4-вектор $R^k = [c(t-t'),\mathbf{r- r}']$, причем x',y', z', t' связаны друг с другом соотношением (63,1); последнее может быть записано в инвариантном виде как
$R^kR_k = 0.\qquad (63,4) $
Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, получим для потенциалов поля, создаваемого произвольно движущимся точечным зарядом, следующие выражения: "

У Шотта величина $R^ku^k=KR$ расписана подробно в текущих координатах ($x',t'$ выражены через текущие координаты).
Большая буква К у Шотта $\partial t/\partial \tau$.
Какие там $k$ и $s$? $k$ - постоянная ускорения а $s$ - квадратный корень. Если Вы цитируйте Шотта, то хотя бы правильно его цитируйте.

Величина $R^k\cdot u^k$ есть величина, обратная к скалярному потенциалу $c=1,\,q=1$, что легко видеть как из ЛЛ-2, так и Шотта. Скалярный потенциал - есть в лучшем случае величина КОвариантная (в этой теме установлено что для заряда, движущегося равномерно и равноускоренно, скалярный и векторный потенциалы формируют 4-вектор). Обратная величина к ковариантной НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ИНВАРИАНТНОЙ.

Есть такая теорема в математике, что компонента вектора есть скаляр? Преобразуется как скаляр при преобразовании координат этого вектора.

Вы показали, что потенциалы Шотта инвариантны (формируют 4-вектор). Я с этим согласился. Но на этом всё. Больше ничего Вы не показали.
Метод из ЛЛ-2 § 63 не годится для док-ва инвариантности потенциалов в самом общем виде.
Пример с $\xi(t)= a\sqrt{t}$ также остался без док-ва инвариантности. Надо объяснить, что делать с появлением $t$ в знаменателе $\Phi$ при преобразования Лоренца координат.

[svv]

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Я задал вопрос - будут ли инвариантны решения этого волнового ур-ния[?

То есть будут ли $A'_i$ такими же функциями от $x'^k$, как $A_i$ от $x^k$? Конечно, нет. Вам на этот вопрос тоже ответили. Это абсурдное требование. Почему потенциал заряда, движущегося мимо нас со скоростью пешехода, должен так же зависеть от времени, как и потенциал заряда (того же самого, но в другой системе), проносящегося со скоростью самолёта?

[lel0lel]

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Есть такая теорема в математике, что компонента вектора есть скаляр? Преобразуется как скаляр при преобразовании координат этого вектора

Интересно, какое по-вашему определение у компонент вектора?

[Geen]

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Есть такая теорема в математике, что компонента вектора есть скаляр? Преобразуется как скаляр при преобразовании координат этого вектора.

Кажется, это венец измышлений ТС....
(извиняюсь, не выдержал)

[Cos(x-pi/2)]

lel0lel, Geen, я понял этот вопрос ТС по-другому.

На мой взгляд, ТС понимает, что компонента вектора не может быть скаляром, и задаёт такой вопрос насмешливо, в мой адрес. Потому что он думает, будто я пишу, что $\Phi=1/\text{инвариант}$ и при этом утверждаю, что $\Phi$ это компонента 4-вектора.

Позже я отвечу подробнее, а пока только подчеркну, что ТС или по какой-то загадочной причине вообще не смотрит внимательно на формулы и их вывод, или нарочно нас троллит - прикидывается ничего не понимающим.

У меня ведь ясно написано (и как это выводится написано, и проверить всё это легко):

$$\Phi=A_t=\frac{u_t}{R^ku_k}=\frac{\gamma_Q}{\gamma_Q(R-R_xv_Q)}=\frac{1}{R-R_xv_Q},$$

Инвариантом здесь является только имеющаяся в знаменателе величина $R^ku_k=\gamma_Q(R-R_xv_Q).$ При этом в числителе есть $u_t=\gamma_Q$ -- это временная компонента 4-вектора. Поэтому всё выражение для $\Phi$ это временная компонента 4-вектора.

Множитель $\gamma_Q=(1-v_Q^2)^{-1/2}$ в числителе и знаменателе затем мы сокращаем, но это никак не меняет закона преобразования оставшегося выражения - величина $\Phi$ была и остаётся компонентой 4-вектора. При этом знаменатель равен $R-R_xv_Q,$ он не является инвариантом и не совпадает с инвариантом $R^ku_k.$ Топикстартер почему-то этот очевидный факт игнорирует.


ТС ещё и вот такую ерунду повторяет, хотя я уже написал выше, что такого равенства нет:

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

У Шотта величина $R^ku^k=KR$

У Шотта в книге задача правильно решена, и такого равенства в его книге нет. Величина $KR$ у Щотта не есть $R^ku^k.$ Всё это проверяется вовсе не "цитированием Шотта", а подробными выкладками с ручкой и бумагой. Ничего я не цитирую. Для проверки того, что утверждаю, всё сам вывел и увидел, что к чему. Задача, рассмотренная Шоттом, ведь не сложная; местами выкладки громоздкие, но лишь типа школьных задачек "упростить выражение". Похоже, ТС ничего сам не разбирал и не понимает, как выводятся формулы потенциалов в задаче с траекторией заряда $x(t)=\sqrt{k^2+t^2}$, рассмотренной Шоттом.

[Onoochin]

svv в сообщении #1626917 писал(а):

Onoochin в сообщении #1626915

писал(а):
Я задал вопрос - будут ли инвариантны решения этого волнового ур-ния[? То есть будут ли $A'_i$ такими же функциями от $x'^k$, как $A_i$ от $x^k$? Конечно, нет. Вам на этот вопрос тоже ответили. Это абсурдное требование. Почему потенциал заряда, движущегося мимо нас со скоростью пешехода, должен так же зависеть от времени, как и потенциал заряда (того же самого, но в другой системе), проносящегося со скоростью самолёта?

Потенциалы и поля должны одинаково зависеть от координат и времени, чтобы ур-ния Максвелла имели тот же самый вид в двух ИСО.
Другого ответа нет.

-- 24.01.2024, 18:51 --

Cos(x-pi/2) ,

У Вас имеется следующее утверждение

Цитата:

Из рассмотренного примера ясно, почему потенциалы $\Phi', A_x'$ зависят от $x',t'$ не так, как потенциалы $\Phi, A_x$ зависят от $x,t.$

Это явно противоречит (вербальному) определению Пуанкаре.
Поэтому хотелось бы определиться, что Вы понимаете под понятиями, которые употребляете.
Не могли бы однозначно ответить на несколько вопросов (особенно на один, который Вы игнорируете):
1. Я дал определение инвариантности, как это понимается в СТО + эл-динамика.
Это определение взято у Пуанкаре, из которого следует, что зависимости потенциалов и полей от координат в соответствующих ИСО должны быть идентичными (в общем виде, а не сравнивать, когда заряд на мгновение останавливается). Если они не идентичны. то вычисляя производные, получаем разные ур-ния Максвелла в двух ИСО.
При этом все, участвующие в этой теме, с таким определением не согласны, но свое определение дать не могут.
Какое у Вас определение инвариантности?

2. Вопрос, который Вы проигнорировали: у Вас сколько времен в формулах?
У Шотта это одно время - текущее время (момент измерения полей). У ЛЛ-2 это также одно время t' должно быть выражено через x,y,z,t. У Зоммерфельда, кто дал релятивистский вывод форулы для потенциалов ЛВ, также время одно.
- если одно, то хотелось бы увидеть, как в формуле для скорости выполняются преобразования и сохраняется вид "инвариантов".
- если два, то на основании каких решений волнового ур-ния появляется два времени.

3. В первом посте я писал, что метод, изложенный в ЛЛ-2, есть (упрощенная ) версия метода Герглотца и затем Зоммерфельда - у того вычисления более строгие. Более подробное объяснение методу дано у Паули, Теория относительности, §32. Но Паули ни слова не говорит, что $u_rX^r$ (ф-ла 238а) есть инвариант. Потому что тогда пришлось бы преобразовывать запаздывающее время, зависящее от текущих координат. Производные по запаздывающему времени вычислить можно, но никто не делал его Лоренц-преобразование.

Но допускаем, что в форме $R^ku_k=\gamma_Q(R-{\bf v}\cdot{\bf R})$- существуют два времени t, t'.
При этом в первой ИСО времена и координаты связаны условием $c(t-t')=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}$ - события на световом конусе.
Инвариант - это означает, что он инвариант для любых комбинаций и любых скоростей.
Если скорость заряда $\mathbf{v}_Q$ имеет две компоненты (например, заряд вращается), что по Вашему мнению означает инвариантность

$$R^ku_k=\gamma_Q(R-R_iv_{Q,i})=\gamma_Q(c(t-t') - v_x(x-x')-v_y(y-y'))\quad ?$$

Тем более после преобразований Лоренца новые координаты и время не будут на световом конусе.

[sergey zhukov]

Onoochin в сообщении #1627011 писал(а):

Другого ответа нет.

Раз другого ответа нет, то можно, наверное, и закончить на этом. Раз ответ с самого начала мог быть только один, то нужно было с самого начала не вопрос задавать, а утверждение написать. А то многие подумали, что это вопрос был.

(Оффтоп)

Вспомнился анекдот:
Студент, ПТУ-шник и курсант военного училища обсуждают экзамены.
Студент говорит:
-У нас там тест. Например, такой вопрос: В чем измеряется сила тока. И варианты ответов: 1- в омах, 2 - в вольтах, 3 - в амперах.
ПТУ-шник говорит:
-Ну, у нас примерно то же. Например, вопрос такой: А не в амперах ли случайно измеряется сила тока? И варианты ответа: да и нет.
Курсант говорит:
- У нас тоже тест. Вопрос: Сила тока измеряется в амперах. И варианты ответа: "да" и "так точно!"

[warlock66613]

Как человек, поспособствовавший появлению этой темы, хочу сказать что я согласен с sergey zhukov. Уважаемый Cos(x-pi/2) очень здорово всё расписал. Непонимающих остаётся только отправлять перечитывать его и svv до полного просветления.

[Onoochin]

Cos(x-pi/2) ,

Еще один вопрос. Вы утверждаете, что

Cos(x-pi/2) в сообщении #1626864 писал(а):

Инвариантна комбинация $\gamma_Q(R-R_xv_Q)=R^ku_k.$ Этот факт можно использовать в конкретных примерах для упрощения вычислений, в том числе - в примере Шотта.

Давайте, возьмем выражения Шотта ($c=1$)

$$(R-R_xv_Q)=\frac{(x^2-t^2)s}{x\cdot A-t\cdot s}$$

где $A=(k^2+\omega^2+x^2-t^2)$ - инвариант относительно преобразований Лоренца.
Можно добавить $\gamma(Q)=\sqrt{k^2+t^2}/k$.

Теперь преобразовываем координаты по формулам $x=\gamma(V)(X+VT),\,t=\gamma(V)(T+VX)$. Получаем

$$ (R-R_xv_Q)=\frac{\sqrt{1-V^2}s(X^2-T^2)}{s(T+VX)-A(X+VT)}$$

$$ \gamma(Q)(R-R_xv_Q)=\frac{\sqrt{(1-V^2)k^2+(T+VX)^2}}{\sqrt{(1-V^2)}k} \frac{\sqrt{1-V^2}s(X^2-T^2)}{s(T+VX)-A(X+VT)}$$

Какая из этих форм инвариантна?
И как одну из форм свести к $s/2k$ ?

[Cos(x-pi/2)]

Коллеги, спасибо за положительную оценку и поддержку.

Вообще-то, у меня уже пропало желание гробить каждый свой вечер на писанину с разъяснениями топикстатеру всего того, что давным-давно написано в учебниках, и во что топикстартер упрямо не желает хорошенько вдуматься. Но раз я пообещал ответить подробнее, то отвечаю.

Onoochin
Пока я подготовил ответы только на предыдущий ваш пост. Новый ваш пост я ещё не успел прочитать (своим одним еле-еле зрячим глазом), позже посмотрю и подумаю над заданными Вами там вопросами. И, может быть, напишу ответы, если будет в том смысл, и если обстоятельства тому не воспрепятствуют.

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Вы что мне доказываете? Что волновое ур-ние инвариантно относительно преобразований Лоренца, показал еще Пуанкаре <...>

Объясняю Вам то, чего Вы не понимаете: хотя волновое уравнение инвариантно (т.е. не меняет своей формы при переходах к описаниям в разных ИСО), функциональная зависимость от координат его решений - не инвариантна в общем случае. По очевидной причине: в разных ИСО источник поля (правая часть неоднородного волнового уравнения) описывается разными функциональными зависимостями от координат. А раз изменяется функция-источник, то изменяется и функция-решение волнового уравнения.

Есть единственный частный случай, в котором описание источника не изменяется - это случай, когда точечный заряд-источник движется по одной оси, например $x,$ по закону $x(t)=\sqrt{t^2+k^2}$ с заданным инвариантным параметром $k,$ и лоренц-преобразования выполняются только вдоль этой же оси $x.$ При таких лоренц-преобразованиях координат $x$ и $t$ любой точки в пространстве-времени инвариантна комбинация $x^2-t^2=x'^2-t'^2.$ Поэтому инвариантна и гипербола $x(t)=\sqrt{t^2+k^2}.$ В точках этой гиперболы имеем $x^2-t^2=x'^2-t'^2=k^2.$ Такой закон движения частицы принято в литературе называть "гиперболическим движением" или движением с постоянным ускорением.

В указанном случае - с частицей-источником, движущейся по закону $x(t)=\sqrt{t^2+k^2},$ - функциональная зависимость потенциалов и, следовательно, напряжённостей поля не изменяется при лоренц-преобразованиях вдоль х-оси (только при таких лоренц-преобразованиях, а не при любых). И совершенно понятно, что если не изменилось функциональное описание источника, то не изменится и функциональная форма решения инвариантных уравнений с таким источником. Во всех остальных случаях, т.е. при не гиперболическом движении и/или при лоренц-преобразованиях в других направлениях, описания источников и решения не инвариантны.

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Я задал вопрос - будут ли инвариантны решения этого волнового ур-ния?

Ответ Вам уже давали раньше; и только что я ответ ещё раз сформулировал.

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Док-ва для общего случая инвариантности (или ковариантности, если рассматривать потенциалы как компоненты 4-вектора) нет.

Доказательства инвариантности полей нет, потому что в общем случае нет инвариантности полей; см. ответ выше.

Ковариантность есть, доказательство дано в стандартных учебниках: в волновом уравнении источники $(\rho,\mathbf{j})$ преобразуются как 4-вектор (это следует из физического рассмотрения плотности заряда и тока), следовательно и присутствующие в волновом уравнении потенциалы $(\Phi,\mathbf{A})$ преобразуются как 4-вектор. Здесь я этот вывод Вам напомнил. Если Вы не понимаете доказательство, это не значит, что "доказательства нет".

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Если в решении для потенциалов (и полей) в знаменателе как минимум $x,t$ входят в комбинации $x-ct$, то решения инвариантны, потому что форма $x-ct$ сохраняется. Но если переменные входят в решение не в этой комбинации?

Во-первых, см. ответ выше. Решения инвариантны в единственном случае - при гиперболическом движении источника, притом при лоренц-преобразованиях только вдоль этого движения. В такой задаче $x,t$ входят в решение не в комбинации $x-ct;$ как именно входят - пишу ниже, это потенциалы, известные Вам из книги Шотта. В прочих задачах инвариантности полей нет, есть ковариантность.

Во-вторых, комбинация $x-t$ не инвариантна: $x-t=\gamma(1-V)(x'-t').$ Вот примеры комбинаций, действительно инвариантных (к лоренц-преобразованиям вдоль x-оси, только о таких преобразованиях веду речь):

$x^2-t^2=x'^2-t'^2,\quad y=y',\quad z=z',$

$y^2+z^2=y'^2+z'^2,$

инвариант $s$ из книги Шотта в формулах потенциалов в задаче с гиперболическим движением источника:

$s=\sqrt{(x^2-t^2-k^2+y^2+z^2)^2+4(y^2+z^2)k^2},$

и чтобы ниже кратко записать упомянутые потенциалы из книги Шотта, я обозначу буквой $p$ ещё и вот такой инвариант:

$p=(x^2-t^2+y^2+z^2+k^2).$

Тогда потенциалы в задаче с гиперболическим движением источника есть (они же есть и в книге Шотта):

$$\Phi=\frac{xp-ts}{(x^2-t^2)s},\qquad A_x=\frac{tp-xs}{(x^2-t^2)s}.$$

Посмотрим, какой получается в этом случае зависимость штрихованных потенциалов от штрихованных координат. Для этого преобразуем $\Phi,A_x$ по формулам лоренц-преобразования 4-вектора, учтём инвариантность величин $x^2-t^2,$ $s=s'$ и $p=p',$ и заметим, что исходные переменные $x,t,$ в числителе образуют в итоге комбинации, являющиеся новыми $x',t':$

$$\Phi'=\gamma(\Phi-VA_x)=\frac{p'\gamma(x-Vt)-s'\gamma(t-Vx)}{(x'^2-t'^2)s'}=\frac{p'x'-s't'}{(x'^2-t'^2)s'},$$

$$A_x'=\gamma(A_x-V\Phi)=\frac{p'\gamma(t-Vx)-s'\gamma(x-Vt)}{(x'^2-t'^2)s'}=\frac{p't'-s'x'}{(x'^2-t'^2)s'}.$$

Видно, что, как и ожидалось, в случае с гиперболическим движением источника (вдоль х-оси и с лоренц-преобразованием вдоль той же оси) потенциалы $\Phi',A'_x$ зависят от $x',t'$ так же, как $\Phi,A_x$ зависят от $x,t.$ Но это только в данном частном случае - с гиперболическим движением источника (такое движение, как пояснялось, инвариантно). Во всех остальных задачах нет причин для такого совпадения зависимостей, и совпадения такого нет, поскольку во всех остальных задачах траектория заряда-источника $x(t)$ не инвариантна.

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Повторяю еще раз. Шотт рассмотрел несколько случаев, когда можно получить решение, выраженное в текущих координатах. <...> есть решение, взятое на той оси, по которой движется заряд $\xi(t)= a\sqrt{t}$ - его можно использовать для проверки, т.к. потенциалы выражены в удобной форме. Этот пример как-то выбивается из проверки на инвариантность. Вопрос: почему? В этом и состоит мой вопрос

Этот пример не выбивается; наоборот, он подтверждает сказанное выше. А именно: в этом примере описание мировой линии частицы-источника не инвариантно (картинки для такой мировой линии в двух разных ИСО я приводил Вам в сообщении с численным примером, вот картинка в исходной ИСО и вот для тех же событий в другой ИСО), поэтому и потенциалы получились не инвариантными. Так обстоит дело вообще во всех случаях, кроме случая с гиперболическим движением.

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Формула $A^i=u^i/R^ku^k$ взята из ЛЛ-2 § 63. Вот что там написано: <...>

Эта формула - точное решение волнового уравнения для запаздывающих потенциалов точечного заряда, движущегося произвольным образом. Она есть и применяется не только в ЛЛ-2, но и в научных статьях. Например, вот эта формула в одной из основных статей про излучение, создаваемое зарядом с гиперболической мировой линией (Annals of Physics, 9, 499-517 (1960), T.Fulton and F.Rohrlich, "Classical Radiation from a Uniformly Accelerated Charge"):

То, что написано в ЛЛ-2 в пояснениях к формуле $A^i=u^i/R^ku^k,$ я и писал в выкладках в постах выше; только применяю более подробные обозначения - метками P и Q я указываю мировые точки пространства-времени, к которым относятся (в заданной ИСО) координаты, скорость заряда-источника, потенциалы в точке наблюдения (это точка Р).

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

У Шотта величина $R^ku^k=KR$ расписана подробно в текущих координатах ($x',t'$ выражены через текущие координаты).

На это я уже отвечал в предыдущем посте. Тут у Вас недоразумение, величина $KR$ не равна инварианту $R^ku^k$ и не является инвариантом.

Вроде в основном всё; ответы на оставшиеся ваши возражения в том вашем посте, думаю, уже есть в тексте выше.

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin, вот ответы на ваши два последних поста:

(Ответы)

Onoochin в сообщении #1627011 писал(а):

Какое у Вас определение инвариантности?

Общепринятое в наше время понимание. Не из старинных статей Лоренца и Пуанкаре с их вербальной невнятицей, а из учебников по теории поля, написанных уже после создания СТО. Из начальных глав учебников, где идёт речь о преобразованиях Лоренца (ПЛ) и вводится мат. аппарат с 4-векторными и тензорными обозначениями. В ЛЛ-2 это §1-§7. В упомянутой Вами книге Паули "Теория относительности" см. гл. II; в §9 виден один из примеров инвариантной величины - важное для нас выражение $a_ib^i,$ где $a$ и $b$ это 4-векторы:

.

Если вкратце, то слово "инвариантность" означает "неизменность". А чего именно неизменность - это сильно зависит от контекста, и в деталях раскрывается только на языке математики. Есть просто неизменность числового значения функции при замене её аргументов по формулам ПЛ. А бывает и неизменность самой формы функции, в которой в неё входят её аргументы. Инвариантность системы дифф. уравнений - это неизменность формы уравнений, в которой в них входят функции; при этом форма самих функций в общем случае изменяется при ПЛ. (Всё нужное более или менее у нас здесь уже было: об инвариантах, о 4-векторах и, в частности, о 4-скорости я напоминал в этом сообщении.)

Onoochin в сообщении #1627011 писал(а):

Вопрос, который Вы проигнорировали: у Вас сколько времен в формулах? У Шотта это одно время - текущее время (момент измерения полей). У ЛЛ-2 это также одно время, t' должно быть выражено через x,y,z,t.

И у меня одна независимая переменная $t.$ У меня формулы потенциалов ЛВ те же, что в ЛЛ-2; только вместо $t'$ я пишу $t_Q,$ чтобы избежать путаницы, потому что мы везде в этой теме штрих используем для обозначения величин, наблюдаемых из другой ИСО. Да, $t_Q$ не есть вторая независимая переменная времени, а определяется (неявно, сложным уравнением) как функция от $t,x,y,z.$ Это тоже было: см. здесь.

Onoochin в сообщении #1627011 писал(а):

если одно, то хотелось бы увидеть, как в формуле для скорости выполняются преобразования и сохраняется вид "инвариантов".

Пусть движение точечного заряда-источника, задано в исходной ИСО некими функциями $x_Q(t),y_Q(t),z_Q(t),$ сколь угодно сложными. Здесь метка $Q$ это ещё не признак конкретной точки на траектории, а просто метка для координат на всей траектории (вместо этого можно было бы написать, например, $\xi(t),\zeta(t),\eta(t),$ но я не стал плодить новых букв для координат).

Уравнение для $t_Q$ есть

$$t-t_Q=\sqrt{(x-x_Q(t_Q))^2 + (y-y_Q(t_Q))^2 + (z-z_Q(t_Q))^2},$$

где $x,y,z,t$ - 4-координаты точки P, в которой интересуемся потенциалами $\Phi, \mathbf{A}.$; это независимые переменные, аргументы функций $\Phi, \mathbf{A}.$ Других независимых 4-координат нет. Если обозначить здесь квадратный корень как $R=|\mathbf{r}-\mathbf{r}_Q(t_Q)|,$ то уравнение для $t_Q$ запишется кратко в виде $t-t_Q=R.$

В общем случае функцию $t_Q(x,y,z,t)$ в явном виде не найти, да. Однако ясно, что для каждой точки Р существует своё конкретное значение $t_Q.$ Поэтому существуют и значения $x_Q(t_Q),y_Q(t_Q),z_Q(t_Q),$ свои для каждой точки Р; дальше я обозначаю такие числа для краткости просто как $x_Q,y_Q,z_Q.$ Для каждой точки P соответствующие ей четыре числа $(t_Q,x_Q,y_Q,z_Q)$ определяют конкретную точку Q (свою для каждой точки Р) на мировой линии частицы-заряда, а уравнение для $t_Q$ связывает разности 4-координат мировых точек P и Q:

$$t-t_Q=\sqrt{(x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 + (z-z_Q)^2}.$$

Такая связь означает, что отрезок прямой в пространстве-времени, проведённый из Q в P, т.е. "4-вектор" с компонентами

$$(R_t,R_x,R_y,R_z)\,=\,((t-t_Q),(x-x_Q),(y-y_Q),(z-z_Q)),$$

светоподобен. Действительно, возведя обе стороны в квадрат, получаем равенство

$$(t-t_Q)^2-(x-x_Q)^2-(y-y_Q)^2-(z-z_Q)^2=0,$$

то есть

$$R^kR_k=R_t^2-R_x^2-R_y^2-R_z^2=0.$$

Как всё опишется в другой ИСО? По принципу относительности все ИСО равноправны. Поэтому, такое же рассмотрение в другой ИСО', со штрихованными 4-координатами, заведомо даст нам такие же формулы, только все величины в них будут с самого начала штрихованные. И поскольку переход от одной ИСО к другой обязан описываться в СТО лоренц-преобразованием, то связаны штрихованные величины с нештрихованными окажутся формулами ПЛ. Как говорится, им от этого никуда не деться.

В этом легко убедиться прямо. Для описания траектории того же самого заряда в другой ИСО, в формулы ПЛ надо подставить в качестве $x,y,z$ функции $x_Q(t),y_Q(t),z_Q(t):$

$$x'_Q(t)=\gamma(x_Q(t)-Vt),\qquad t'(t)=\gamma(t-Vx_Q(t)),$$

$$y'_Q(t)=y_Q(t),\qquad z'_Q(t)=z_Q(t).$$

Получилось параметрическое описание мировой линии в штрихованной ИСО, параметром служит переменная $t.$

Штрихованные 4-координаты точки Q на мировой линии это их значения при определённом значении параметра: $t=t_Q;$ им соответствуют нештрихованные значения 4-координат $t_Q,x_Q,y_Q,z_Q$ в исходной ИСО. Обозначим эти штрихованные значения по аналогии с нештрихованными - без значения аргумента, т.е.: $t'(t_Q)=t'_Q,$ $x'_Q(t_Q)=x'_Q,$ $y'_Q(t_Q)=y'_Q,$ $z'_Q(t_Q)=z'_Q.$ Тогда:

$$x'_Q=\gamma(x_Q-Vt_Q),\qquad t'_Q=\gamma(t_Q-Vx_Q),$$

$$y'_Q=y_Q,\qquad z'_Q=z_Q.$$

Для 4-координат $x',y',z',t'$ точки P формулы ПЛ будут такие же, только без метки Q (для краткости не выписываю их). Значит, составив разности 4-координат точек P и Q, получим для разностей снова формулы ПЛ:

$$(x'-x'_Q)=\gamma((x-x_Q)-V(t-t_Q)),\qquad t'-t'_Q=\gamma((t-t_Q)-V(x-x_Q)),$$

$$y'-y'_Q=y-y_Q,\qquad z'-z'_Q=z-z_Q.$$

Поскольку, как видим, величины $((t-t_Q),(x-x_Q),(y-y_Q),(z-z_Q))\,=\,(R_t,R_x,R_y,R_z)$ преобразовались по формулам ПЛ для 4-координат, эти величины являются компонентами 4-вектора именно в точном смысле термина "4-вектор". И, значит, комбинация

$$R^kR_k=(t-t_Q)^2-(x-x_Q)^2-(y-y_Q)^2-(z-z_Q)^2$$

инвариантна - её форма и значения не изменяются при ПЛ 4-координат точек P и Q:

$$R^kR_k=R'^kR'_k=(t'-t'_Q)^2-(x'-x'_Q)^2-(y'-y'_Q)^2-(z'-z'_Q)^2.$$

Для светоподобного 4-вектора эта величина равна нулю. Так что, если в исходной ИСО $R^kR_k=0,$ то и в другой ИСО' $R'^kR'_k=0.$

Ничего иного и не следовало ожидать. Ведь это математические азы СТО: 4-координаты любых мировых точек, а с ними и разности 4-координат любых мировых точек преобразуются по формулам ПЛ, - как компоненты $a^k$ вообще любого 4-вектора. Скалярное произведение $a^kb_k$ любых двух 4-векторов (в том числе и в случае, когда это один и тот же вектор), есть величина инвариантная (по форме и по значению) к ПЛ:

$$a^kb_k=a_tb_t-a_xb_x-a_yb_y-a_zb_z=$$

$$=a'_tb'_t-a'_xb'_x-a'_yb'_y-a'_zb'_z=a'^kb'_k\,.$$

// Сложных формул у нас нет, поэтому не различаю верхние и нижние индексы; просто помним, что в суммы по повторяющимся индексам временные и пространственные компоненты входят с противоположными знаками. Равенство $a^kb_k=a'^kb'_k$ легко проверяется, не выписываю доказательство. // Всё это верно для любых точек в пространстве-времени, и для любым образом соединяющих их отрезков прямых - они являются 4-векторами, т.е. их проекции на 4-координатные оси преобразуются по обычным формулам ПЛ для 4-координат.

В частности, все эти азы СТО верны для любых точек Q на мировой линии заряда, и для любых точек P вне мировой линии заряда. Пусть мировая линия задаётся супер-ультра-зашибись сложными функциями $x_Q(t),y_Q(t),z_Q(t),$ так что уравнение $t-t_Q=R$ для точек Q, соответствующих произвольным точкам P, в явном виде не решит и сам чёрт. Невозможность в явном виде найти решение не отменяет факта, что разности 4-координат точек Р и Q преобразуются как компоненты $R^k$ 4-вектора, и что скалярное произведение этого 4-вектора с любым 4-вектором (с каким-угодно 4-вектором $b)$ будет инвариантной величиной - не изменяющейся при ПЛ: $R^kb_k=R'^kb'_k.$


4-скорость $u$ в точке Q мировой линии можно представлять себе как очень маленький и поэтому практически прямолинейный отрезочек $a$ мировой линии (отрезочек с началом в точке Q и концом в близкой "будущей" точке мировой линии) с инвариантным множителем $1/\sqrt{a^ia_i}.$ Это определение становится точным при устремлении концевой точки отрезочка к точке Q.

Поскольку разности 4-координат двух точек заведомо преобразуются как компоненты 4-вектора, то из указанного описания 4-скорости $u=a/\sqrt{a^ia_i}$ явствует, что 4-скорость есть 4-вектор; его скалярное произведение на самого себя - инвариант, равный единице:

$$u^ku_k=a^ka_k/a^ia_i=1.$$

Как и скалярное произведение любых 4-векторов в СТО, скалярное произведение 4-скорости в любой точке мировой линии вообще с любым 4-вектором заведомо является инвариантной величиной - не изменяющейся при ПЛ. Как частный случай и скалярное произведение 4-скорости в точке Q со светоподобным 4-вектором QP есть инвариант: $R_ku^k_Q=R'_ku'^k_Q.$

Повторю: этот факт не отменяется отсутствием в общем случае явных формул для 4-координат точек Q. Явные формулы оказались не нужны для доказательства в общем виде инвариантности величины $R_ku^k_Q.$ Без явных формул нет возможности в них что-либо подставлять явно; только и всего. (Притом, в принципе, всегда есть возможность численно задавать густую сетку точек P и решать уравнение для координат точек Q численными методами.)

Onoochin в сообщении #1627011 писал(а):

Более подробное объяснение методу дано у Паули, Теория относительности, §32. Но Паули ни слова не говорит, что $u_rX^r$ (ф-ла 238а) есть инвариант.

Не говорит по той же причине, по какой он не повторяет на каждом шагу "2х2=4". Всю нужную информацию о законах преобразования встречающихся в теории величин Паули дал в главе II "Математический аппарат"; вот там он и сказал про инвариантность комбинаций вида $a_ib^i,$ см. уже упомянутый скриншот.

Onoochin в сообщении #1627011 писал(а):

Если скорость заряда $\mathbf{v}_Q$ имеет две компоненты (например, заряд вращается), что по Вашему мнению означает инвариантность $R^ku_k=\gamma_Q(R-R_{\mu}v_{Q,\mu})=\gamma_Q(c(t-t') - v_x(x-x')-v_y(y-y'))\, ?$ Тем более после преобразований Лоренца новые координаты и время не будут на световом конусе.

(В цитате я заменил латинский индекс $i$ греческим $\mu$. У нас, как и в ЛЛ-2, латинские индексы пробегают 4 значения, поэтому пусть три значения $(x,y,z)$ пробегают греческие индексы.) Насчёт "не будут на световом конусе" - грубая ошибка. Опять-таки азы СТО: светоподобный интервал светоподобен во всех ИСО. Раз уж $R^kR_k=0$ в исходной ИСО, то и в любой другой ИСО' $R'^kR'_k=R^kR_k=0.$

Ну а как конкретно движется заряд, это для инвариантности величины $R^ku_k$ совершенно неважно. Пусть заряд хоть вращается, хоть какие угодно кренделя вытанцовывает. В любом случае в исходной ИСО в каждой точке его траектории $\mathbf{r}_Q(t)$ у заряда есть своя для данной точки 3-скорость $\mathbf{v}_Q(t)=\frac{d\mathbf{r}_Q(t)}{dt}.$ Как уже говорилось, для заданной точки наблюдения $P(\mathbf{r},t)$ существует решение $t_Q,$ - прошлый момент времени, - которым определяется соответствующая этой точке P точка Q на траектории заряда; 4-координаты этой точки Q обозначаем как $t_Q,\,\mathbf{r}_Q=\mathbf{r}_Q(t_Q).$ Скорость заряда в этой точке Q обозначаем как $\mathbf{v}_Q=\mathbf{v}_Q(t_Q).$ Её величиной определяется для точки Q число, которое мы называем "гамма на траектории заряда в точке Q", это

$$\gamma_Q=\frac{1}{\sqrt{1-v_Q^2}}.$$

Компоненты 4-скорости в точке Q даются упоминавшимся выше определением $u^k=a^k/\sqrt{a^ia_i},$ где компоненты 4-вектора $a$ это$a^t=dt,\,\mathbf{a} = d\mathbf{r}_Q.$ Можно представлять их себе как приращения к 4-координатам точки Q. С учётом равенства

$$a^ia_i=(dt)^2-d\mathbf{r}_Q\cdot d\mathbf{r}_Q=(dt)^2(1-v_Q^2)=(dt)^2/\gamma_Q^2$$

имеем для компонент 4-скорости в точке Q выражения:

$$(u^t,\,\mathbf{u})\,=\,(\gamma_Q,\,\gamma_Q\mathbf{v}_Q).$$

Поэтому скалярное произведение 4-скорости с 4-вектором QP, имеющим компоненты $(t-t_Q)=R$ и $\mathbf{R},$ есть:

$$R^ku_k=\gamma_Q(R-\mathbf{v}_Q\cdot\mathbf{R})=\gamma_Q(t-t_Q)-\mathbf{v}_Q\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_Q).$$

Инвариантность величины $R^ku_k$ означает вот что. В другой ИСО' у той же пары точек P и Q мировые координаты примут другие значения (штрихованные), и форма мировой линии заряда будет выглядеть как-то иначе, так что 3-скорость заряда и гамма на траектории заряда в точке Q будут иные (штрихованные), но само выражение через штрихованные величины и значение $R^ku_k$ останется неизменным:

$$R^ku_k=R'^ku'_k=\gamma'_Q(t'-t'_Q)-\mathbf{v}'_Q\cdot (\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_Q).$$

Onoochin в сообщении #1627011 писал(а):

Но допускаем, что в форме $R^ku_k=\gamma_Q(R-{\bf v}\cdot{\bf R})$- существуют два времени t, t'.

В такой формуле я вместо $t'$ пишу $t_Q,$ так как штрих у нас занят для другой ИСО. Говорить, что времён тут два, я бы стал только с важным пояснением: время $t_Q$ не есть независимая переменная, а является функцией (в явном виде нам неизвестной в общем случае) от независимых переменных - от 4-координат $(t,\mathbf{r})$ точки наблюдения P полей. Соответственно, и у полей независимой переменной времени является одно время $t,$ а не две независимых переменных $t,t'.$

Onoochin в сообщении #1627033 писал(а):

Давайте, возьмем выражения Шотта

$$(R-R_xv_Q)=\frac{(x^2-t^2)s}{x\cdot A-t\cdot s}$$

Теперь преобразовываем координаты по формулам $x=\gamma(V)(X+VT),\,t=\gamma(V)(T+VX)$. Получаем

$$ (R-R_xv_Q)=\frac{\sqrt{1-V^2}s(X^2-T^2)}{s(T+VX)-A(X+VT)}$$

<...> Какая из этих форм инвариантна? И как одну из форм свести к $s/2k$ ?

Вторая форма, о которой говорится в цитате, это $\gamma_Q(R-R_xv_Q).$

Вместо вашего обозначения $A$ я буду писать $p$ (буква $A$ занята для векторного потенциала). Выражения для инвариантов (при ПЛ вдоль x-оси) $p$ и $s,$ зависящих от $t$ и декартовых координат $x,y,z$ точки Р наблюдения поля, я выписал в предыдущем сообщении.

Видно, что форма $(R-R_xv_Q)$ не инвариантна: её зависимость от новых переменных $X,T$ не такая, как от $x,t.$

Вторую форму рассмотрим подробнее. Выпишу все полезные выражения (хотя ниже все они мне не потребуются), которые получаются в исходной ИСО в ходе решения уравнения $t-t_Q=R$ для задачи с траекторией заряда $x_Q(t)=\sqrt{t^2+k^2}$ (гиперболическое или, что то же, равноускоренное движение):

$$R=\frac{(p-2k^2-2y^2-2z^2)t+sx}{2(x^2-t^2)}\,,$$

$$t_Q=\frac{pt-sx}{2(x^2-t^2)}\,,$$

$$x_Q=\frac{px-st}{2(x^2-t^2)}\,,$$

$$\gamma_Q=\frac{\sqrt{t_Q^2+k^2}}{k}=\frac{x_Q}{k}.$$

Видно, что так как

$$ (R-R_xv_Q)=\frac{(x^2-t^2)s}{px-st}=\frac{s}{2\,x_Q}\,,$$

то получается:

$$\gamma_Q(R-R_xv_Q)=\frac{x_Q}{k}\,\frac{s}{2\,x_Q}=\frac{s}{2k}\,.$$

Это, как мы уже знаем, инвариантная (к ПЛ вдоль x-оси) комбинация переменных $x,y,z,t,$ являющихся 4-координатами произвольной точки P наблюдения поля.

(Результат $s/2k$ можно получить и другим, более длинным, но притом, может быть, более наглядным путём: полагаясь на заведомую инвариантность формы $\gamma_Q(R-R_xv_Q)=\gamma'_Q(R'-R'_xv'_Q),$ можно перейти в специальную ИСО (свою для каждой точки P), такую, в которой $v'_Q=0$ и, следовательно, $\gamma'_Q=1.$ В такой ИСО' $t'_Q=0,$ $x'_Q=k,$ и прямое вычисление расстояния $R'=\sqrt{(x'-k)^2+y'^2+z'^2}$ с учётом в выражении для $s'$ уравнения $t'=R'$ даёт: $R'=s'/2k.$

Наглядность здесь в том, что инвариант $s'=s$ получает интерпретацию в терминах расстояния $R'$ между точками P и Q в специальной ИСО'. Притом легко для точек P c равными нулю $y=0$ и $z=0$ проиллюстрировать всё рисунками в двух ИСО с гиперболической мировой линией (по аналогии с приводившимися мной рис.1 и рис.2 для другой мировой линии заряда); рекомендую в качестве упражнения.)

[amon]

Onoochin в сообщении #1626915 писал(а):

Я задал вопрос - будут ли инвариантны решения этого волнового ур-ния? Док-ва для общего случая инвариантности (или ковариантности, если рассматривать потенциалы как компоненты 4-вектора) нет.

У Вас глубокое непонимание отличия инвариантности от ковариантности. Инвариантность означает, что величина не меняется при данных преобразованиях. Ковариантность означает, что обе части уравнения преобразуются одинаково при данных преобразованиях. Уравнения Максвелла ковариантны относительно преобразований Лоренца. Это не означает инвариантности их решений. Решение в одной системе отсчета, в общем случае, переходит в другое решение тех же уравнений в другой системе отсчета.

[Onoochin]

cos(x - pi/2)

То соотношение, что Вы использовали для док-ва инвариантности, $c(t-t')= R$, неприменимо для нахождения потенциалов, и соответственно, для док-ва их инвариантности. В интеграле Дюамеля такого условия нет. В интеграл входит функция источника $f\left({\bf r}_0(t-|{\bf r}-{\bf r}'|/c)-{\bf r}'\right)$, где $r'$ - переменная интегрирования. Поэтому для неточечного источника (такой пример есть в эл-диинамике - вычисление векторного потенциала в кулоновой калибровке) условие $c(t-t')= R$ в принципе не получить.
Да, для точечного заряда $f=\delta\left[{\bf r}_0(t-|{\bf r}-{\bf r}'|/c)-{\bf r}' \right]$ условие ${\bf r}_0(t-|{\bf r}-{\bf r}'|/c)-{\bf r}'=0$ формально эквивалентно $c(t-t')= R$. Но найденное ${\bf r}'$ - не время, это точка в координатном пр-ве.
Уже для двух точечных зарядов с наложенной на них связью (какая-нибудь молекула)возникают проблемы - как правильно потенциалы преобразовать по Лоренцу.

Потенциалы ЛВ - это приближенное решение, там для удобства вводят запаздывающее время. Но никто сами потенциалы ЛВ не преобразует в другую ИСО. Если Вы их преобразовываете, так Вы должны преобразовывать время и координаты внутри скорости в запаздывающий момент. Вы этого сделать не сможите в общем виде.
Если Вы утверждаете, что в какой-то ИСО $r_i - r_i'$ все равно 4D вектор, так вначале надо получить строгое решение для потенциалов, где бы $r_i - r_i'$ явно входили, причем как конец $r_i$ так и начало $r_i'$ вектора определены в одной ИСО.
Иначе Вы будет повторять, что $r_i - r_i'$ в любом случае 4D вектор,
я буду повторять, что Вы его не можете корректно определить, чтобы делать Лоренц-преобразования.

Еще раз по поводу инвариантности решений.
В ур-ниях Максвелла кроме левой части есть правая. Можно проверить, как преобразуется плотность заряда при переходе от одной ИСО к другой.
Имеем закон сохранения заряда

$$ \int \rho dV = e = \int \rho' dV'$$

Имеем закон преобразования для плотности заряда

$$ \rho' = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\left(\rho -\frac{{\bf v}\cdot {\bf j}}{c}\right) $$

Но в электродинамике плотности тока нет - есть произведение скорости $v_x$ заряда на плотность заряда. Получаем (заряд движется по оси х и переход между ИСО также по оси х, величины скоростей $v_x$, $v$ в общем случае не совпадают - они независимы)

$$ \rho' = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\left(\rho -\frac{v_x v}{c^2}\rho \right) $$

(совпадает с соответствующей формулой статьи 1905 - стр 916)
Подставляем в формулу для заряда

$$ e= \int \rho' dV' = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\int \rho \left(1 -\frac{v_x v}{c^2}1 \right)\,\sqrt{1-(v/c)^2} dV= e\cdot \left(1 -\frac{v_x v}{c^2} \right)$$

Это противоречит физике - величина заряда не может зависеть от его скорости $v_x$.
Это может нарушать инвариантность - ур-ния как бы инвариантны (если пропустить преобразование $\rho$) но решения, где преобразование плотности заряда уже существенно, не инвариантны.

Видимо, надо смотреть, когда преобразование $\rho$ сохраняет инвариантность решений.