Неравенство

[Drimacus]

Есть относительно известная задача: сравнить числа $\ln 11 \ln 13 \ln 15 \ldots \ln 9999$ и $2\ln 10 \ln 12 \ln 14 \ldots \ln 9998$ (и куча похожих). Можно показать, что первое число больше путем неравенства $\ln^2x>\ln(x-1)\ln(x+1)$ для $x>2$. Но само это неравенство обычно доказывается через Йенсена для функции $\ln \ln x$, которое в свою очередь требует свойства выпуклости вверх и по сути теоремы Лагранжа.
А можно ли как-нибудь чисто по-школьному?

[gris]

Если оба произведения сделать переменными с равным числом логарифмов, то навскидку первое вначале будет меньше, а потом перегонит второе. Если приближённо оценить, то даже пораньше, где-то в районе 8000, если с 11. В районе 10000, как у вас, уже заметнее. То есть дело там в каких-то рядах, но школьными методами это вряд ли доступно( конечно, продвинутые школьники могут справиться)

[Drimacus]

Drimacus в сообщении #1625728 писал(а):

неравенства $\ln^2x>\ln(x-1)\ln(x+1)$ для $x>2$.

Это обычное AM-GM, надо больше спать.

[gris]

Сегодня спал 6 ч 37 мин. Надо побольше?
Я про произведение из условия задачи.
например,
$\ln3<2\ln4$

$\ln3\cdot \ln5<2\ln4\cdot \ln6$

$\ln3\cdot \ln5\cdot \ln7<2\ln4\cdot \ln6\cdot \ln8$
но уже
$\ln3\cdot \ln5\cdot \ln7\cdot \ln9>2\ln4\cdot \ln6\cdot \ln8\cdot \ln10$
И дальше всё больше и больше

[Drimacus]

А я про себя, что не вижу уже простых способов, чисто школьных, без всяких теорем, так или иначе требующих мат. анализ, чтобы доказать неравенство о квадрате логарифма (не нужен йенсен, достаточно неравенства АМ-ГМ). А чтобы так не тупить надо спать больше - мне.
Проще говоря, реплика про спать не к вам относилась.

[gris]

Да спать всем надо как там у АПЧ "квантум де сантис"?
Я чего-то не увидел, как тут ваше неравенство применить? Вся беда, что неравенство оно не всегда одно и то же. По-школьному вполне можно допоказать, что гармонический ряд расходится, но даже оценить поточнее, когда его частичная сумма превысит2024 сложновато будет.

[Drimacus]

gris в сообщении #1625742 писал(а):

Да спать всем надо как там у АПЧ "квантум де сантис"?
Я чего-то не увидел, как тут ваше неравенство применить? Вся беда, что неравенство оно не всегда одно и то же. По-школьному вполне можно допоказать, что гармонический ряд расходится, но даже оценить поточнее, когда его частичная сумма превысит2024 сложновато будет.

Надо перейти к основанию 10, и того $\lg 11 ... \lg 9999$ против $2\lg 10 ... \lg 9998$. Возводим в квадрат обе части и расписываем как $\lg^2 11 \lg ^2 13...\lg^2 9999$ и $\lg10\lg12 \lg 12 \lg 14 \lg 14 \lg 16 ... \lg 9998 \lg 10000$, затем применяем неравенство квадрата логарифма.

[gris]

Точно! А я и не заметил, что $9999=10^4-1$