Неравенство треугольника для выпуклой функции

[Alexander__]

Функция $f(x)$ возрастает, неотрицательна, вупукла вверх, задана на $[0,+\infty)$. Доказать, что $f(|x-z|) \leq f(|x-y|) + f(|y-z|)$.

---

$f(|x-z|) \leq f(|x-y| + |y-z|)$ неравенство треугольника $f$ возрастает
$f(|x-z|) \leq f(|x-y|) + f(|y-z|)$ неравенство Йенсена, $f$ выпукла вверх

Этого достаточно для доказательства?

[dgwuqtj]

А как вы из неравенства Йенсена получили $f(a + b) \leq f(a) + f(b)$?

[Alexander__]

dgwuqtj в сообщении #1625764 писал(а):

А как вы из неравенства Йенсена получили $f(a + b) \leq f(a) + f(b)$?

Разве напрямую не следует из Сумматорный вариант неравенства ?

[Drimacus]

Alexander__ в сообщении #1626247 писал(а):

dgwuqtj в сообщении #1625764 писал(а):

А как вы из неравенства Йенсена получили $f(a + b) \leq f(a) + f(b)$?

Разве напрямую не следует из Сумматорный вариант неравенства ?

Это и есть неравенство йенсена, но важны значения коэффициентов, чтобы получался именно отрезок, в вашем случае было бы $f(a+b)\leqslant\dfrac{f(2a)+f(2b)}{2}$. А иначе контрпример $x^2$, скажем.

[iifat]

Drimacus в сообщении #1626251 писал(а):

контрпример $x^2$, скажем

А она выпукла вверх?

[Drimacus]

iifat в сообщении #1626252 писал(а):

Drimacus в сообщении #1626251 писал(а):

контрпример $x^2$, скажем

А она выпукла вверх?

А что, выпуклость вверх (как у корня) имеет какое-то отношение к этому неравенству?
Раз уж человек говорит о неравенстве йенсена в сумматорном виде (т.е. просто он неравенстве йенсена), то выпуклость имеется в виду, т.е. выпуклость надграфика, а не подграфика.

[iifat]

Drimacus в сообщении #1626253 писал(а):

выпуклость вверх (как у корня) имеет какое-то отношение к этому неравенству?

Согласно Википедии, имеет. То бишь, для выпуклой вниз один знак неравенства, для выпуклой вверх другой. Я, собственно, удивился, что в стартовом письме говорится именно про выпуклую вверх функцию, а вы в качестве примера приводите как раз наоборот.

[Drimacus]

iifat в сообщении #1626256 писал(а):

Drimacus в сообщении #1626253 писал(а):

выпуклость вверх (как у корня) имеет какое-то отношение к этому неравенству?

Согласно Википедии, имеет. То бишь, для выпуклой вниз один знак неравенства, для выпуклой вверх другой. Я, собственно, удивился, что в стартовом письме говорится именно про выпуклую вверх функцию, а вы в качестве примера приводите как раз наоборот.

Я отвечал исключительно на реплику о неравенстве $f(a+b)<f(a)+f(b)$, которое вообще неверно и из неравенства йенсена, вопреки написанному автором темы, не следует.
А то, что обратное неравенство йенсена (корректное) верно для функций типа корня - так этого никто не отрицал, но речи об этом не шло в процитированной ветке.