Ну я не уверен, что оно обязательно есть, просто надеюсь. Хорошо, изложите с теорией Галуа, но я её сам не знаю и буду с ней тогда разбираться. Просто хотелось бы получить короткое доказательство, понятное школьнику, с минимум нешкольного материала. И если понятие поля школьнику можно объяснить быстро, то всю теорию Галуа давать - это тяжело для него.
А по поводу утверждения для
![$Q(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x})$ $Q(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/c/cdce209fec5e92e6b213197095d55f5b82.png)
вот такое пришло мне в голову.
Предположим противное. Пусть существуют кубические уравнения с рациональными коэффициентами и положительным дискриминантом, без рациональных корней и у каждого есть корень, принадлежащий
![$Q(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x})$ $Q(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/c/cdce209fec5e92e6b213197095d55f5b82.png)
. Тогда этот корень принадлежит цепочке квадратичных или кубических расширений полей:

, где

или
![$s_i=\sqrt[3]{d_i}$ $s_i=\sqrt[3]{d_i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/0/1f048dba60e442b4fcf5eddde94668c182.png)
для этих

и

. Выберем среди всех этих уравнений и цепочек полей такие, у которых число образующих в составном расширении для этого корня минимально по сравнению с другими, т.е. у всех других таких уравнений и их корней из
![$Q(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x})$ $Q(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/c/cdce209fec5e92e6b213197095d55f5b82.png)
оно не меньше. Обозначим это число

.
Таким образом, есть кубическое уравнение без рациональных корней

один из корней которого, обозначим его

, будет числом, принадлежащим

. Корень получается из цепочки полей

, где

или
![$s_i=\sqrt[3]{d_i}$ $s_i=\sqrt[3]{d_i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/0/1f048dba60e442b4fcf5eddde94668c182.png)
для этих

и

. В зависимости от степени последнего расширения возможны два случая:

или
![$s_k=\sqrt[3]{d_{k}}$ $s_k=\sqrt[3]{d_{k}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/7/2670b994ce7a1b3e9fc557b9a609c1d682.png)
.
В первом случае существуют такие

, что

, причём

. Дальнейшее рассуждение тогда дословно повторяет доказательство теоремы 2.18 в Geometric Constructions: подставим

в уравнение, увидим, что если

- корень, то и

- тоже корень и они разные, а тогда по теореме Виета третий корень выражается как

минус сумма этих и принадлежит

- получаем противоречие с тем, что

- минимальное.
Во втором случае существуют такие

, что

, причём

или

и

. Рассмотрим величины, полученные умножением слагаемых в выражении

на корни третьей степени из единицы:

Подставим их в левую часть нашего кубического уравнения и сгруппируем по степеням

, получится

где


Раз

корень уравнения, то для него всё это выражение равно нулю. Значит, и

. Но тогда и

и

тоже являются корнями. Итак, у уравнения мы нашли три корня

, и, поскольку оно имеет положительный дискриминант, то все эти три корня должны быть действительными. Подставив в выражение для

значения корня третьей степени из единицы, получаем
Чтобы это число было действительным, то есть его мнимая часть была нулём, необходимо, чтобы

.
Но тогда при

получаем

, что противоречит тому что

,
а при

получаем и

что противоречит тому, что

и

не могут быть равны нулю одновременно.
Для случая же трисектора аналогично ничего хорошего придумать не могу...