Трисектор и кубический корень

[w64]

В книге "Geometric Constructions" (с.142) автора G. E. Martin написано, что $\sqrt[3]{2}$ нельзя построить циркулем,
линейкой и трисектором, но доказательства там я не вижу или чего-то не понимаю.
Указывается, что это потому, что $x^3-2=0$ не имеет трёх действительных корней, а трисекция "соответствует"
решениям кубических уравнений с тремя действительными корнями (или, что равносильно, неотрицательным дискриминантом).
Больше пояснений в статье A.M. Gleason. Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon. 1998.
Там приведена теорема 1: "кубическое уравнение с действительными коэффициентами может быть геометрически решено
линейкой, циркулем и трисектором тогда и только тогда, когда все его корни действительны".
Видимо, имеется в виду, что корни не рациональные. Однако доказательства её в прямую сторону,
т.е. "уравнение может быть геометрически решено, тогда корни действительны", я там тоже не вижу.
Указано лишь, что если такое уравнение может быть решено трисекцией угла, то все корни должны быть действительны, поскольку "метод даёт три корня если он даёт один".

Алгебраически поле построимых циркулем, линейкой, трисектором будет замыканием поля рациональных чисел над операциями
$\sqrt{x}$ и $\cos\left(\frac{1}{3}\arccos x\right)$. Назовём его $T$.

В общем, вопрос, как доказать теорему 1 в прямую сторону или аналогичное алгебраическое утверждение, что
"если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет рациональных корней,
то его действительный корень не может принадлежать $T$"? Есть у кого идеи?
Желательно самым простым и "школьным" способом, без явного использования теории Галуа, надеюсь, так можно сделать.

Кстати, аналогичное утверждение для линейки, циркуля и извлекателя кубических корней
"если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами и положительным дискриминантом не имеет рациональных корней,
то ни один из его корней не может принадлежать замыканию Q над операциями $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$"
можно доказать "школьным" способом аналогично доказательству (см. теорему 2.18 на с. 42 в Geometric Constructions)
невозможности решения древних классических задач трисекции и удвоения куба - для расширения поля кубическим корнем
рассматриваются величины $p + \omega^k q d^\frac{1}{3} + \omega^{2k} r d^\frac{2}{3}$, где $\omega$ - кубический корень из единицы, $k=0,1,2$.

[dgwuqtj]

А почему вы уверены, что существует доказательство разумной длины без теории Галуа? С ней как раз очень легко.

-- 08.01.2024, 22:12 --

w64 в сообщении #1625282 писал(а):

Кстати, аналогичное утверждение для линейки, циркуля и извлекателя кубических корней
"если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами и положительным дискриминантом не имеет рациональных корней,
то ни один из его корней не может принадлежать замыканию Q над операциями $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$"
можно доказать "школьным" способом аналогично доказательству (см. теорему 2.18 на с. 42 в Geometric Constructions)
невозможности решения древних классических задач трисекции и удвоения куба - для расширения поля кубическим корнем
рассматриваются величины $p + \omega^k q d^\frac{1}{3} + \omega^{2k} r d^\frac{2}{3}$, где $\omega$ - кубический корень из единицы, $k=0,1,2$.

Даже интересно, как это делается.

[w64]

Ну я не уверен, что оно обязательно есть, просто надеюсь. Хорошо, изложите с теорией Галуа, но я её сам не знаю и буду с ней тогда разбираться. Просто хотелось бы получить короткое доказательство, понятное школьнику, с минимум нешкольного материала. И если понятие поля школьнику можно объяснить быстро, то всю теорию Галуа давать - это тяжело для него.

А по поводу утверждения для $Q(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x})$ вот такое пришло мне в голову.

Предположим противное. Пусть существуют кубические уравнения с рациональными коэффициентами и положительным дискриминантом, без рациональных корней и у каждого есть корень, принадлежащий $Q(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x})$. Тогда этот корень принадлежит цепочке квадратичных или кубических расширений полей: $F_0=Q,\, F_i=F_{i-1}(s_i),\;i=1,...,n$, где $s_i=\sqrt{d_i}$ или $s_i=\sqrt[3]{d_i}$ для этих $i$ и $d_i\in F_{i-1},\, s_i\notin F_{i-1}$. Выберем среди всех этих уравнений и цепочек полей такие, у которых число образующих в составном расширении для этого корня минимально по сравнению с другими, т.е. у всех других таких уравнений и их корней из $Q(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x})$ оно не меньше. Обозначим это число $k$.

Таким образом, есть кубическое уравнение без рациональных корней

$$ x^3 + a x^2 + b x + c = 0, \qquad a,b,c\in Q, $$

один из корней которого, обозначим его $\mu$, будет числом, принадлежащим $Q(s_1,\ldots,s_k)$. Корень получается из цепочки полей $F_0=Q,\, F_i=F_{i-1}(s_i),\;i=1,...,k$, где $s_i=\sqrt{d_i}$ или $s_i=\sqrt[3]{d_i}$ для этих $i$ и $d_i\in F_{i-1},\, s_i\notin F_{i-1}$. В зависимости от степени последнего расширения возможны два случая: $s_k=\sqrt{d_{k}}$ или $s_k=\sqrt[3]{d_{k}}$.

В первом случае существуют такие $p,q\in F_{k-1}$, что $\mu=p+q\sqrt{d_k}$, причём $q\neq 0$. Дальнейшее рассуждение тогда дословно повторяет доказательство теоремы 2.18 в Geometric Constructions: подставим $p\pm q\sqrt{d_k}$ в уравнение, увидим, что если $p + q\sqrt{d_k}$ - корень, то и $p - q\sqrt{d_k}$ - тоже корень и они разные, а тогда по теореме Виета третий корень выражается как $-a$ минус сумма этих и принадлежит $F_{k-1}$ - получаем противоречие с тем, что $k$ - минимальное.

Во втором случае существуют такие $p,q,r\in F_{k-1}$, что $\mu=p+q d^\frac{1}{3}+r d^\frac{2}{3}$, причём $q\neq 0$ или $r\neq 0$ и $d=d_k\in F_{k-1}, \, d^\frac{1}{3}\not \in F_{k-1}$. Рассмотрим величины, полученные умножением слагаемых в выражении $\mu$ на корни третьей степени из единицы:

$$ \mu_k = p + \omega^k q d^\frac{1}{3} + \omega^{2k} r d^\frac{2}{3}, \quad k=0,1,2 $$

Подставим их в левую часть нашего кубического уравнения и сгруппируем по степеням $d$, получится

$$ A + \omega^k B d^\frac{1}{3} + \omega^{2k} C d^\frac{2}{3} $$

где

$$A=2 a d q r + a p^2 + b p + c + d^2 r^3 + 6 d p q r + d q^3 + p^3$$

$$B = a d r^2 + 2 a p q + b q + 3 d p r^2 + 3 d q^2 r + 3 p^2 q$$

$$C = 2 a p r + a q^2 + b r + 3 d q r^2 + 3 p^2 r + 3 p q^2$$

Раз $\mu = \mu_0$ корень уравнения, то для него всё это выражение равно нулю. Значит, и $A=B=C=0$. Но тогда и $\mu_1$ и $\mu_2$ тоже являются корнями. Итак, у уравнения мы нашли три корня $\mu_k,\,k=0,1,2$, и, поскольку оно имеет положительный дискриминант, то все эти три корня должны быть действительными. Подставив в выражение для $\mu_1$ значения корня третьей степени из единицы, получаем

$$ \mu_1 = p + \left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) q d^\frac{1}{3} + \left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) r d^\frac{2}{3} = p -\frac{1}{2}\left( q d^\frac{1}{3} + r d^\frac{2}{3} \right) + i\frac{\sqrt{3}}{2} d^\frac{1}{3} \left( q - r d^\frac{1}{3} \right) $$

Чтобы это число было действительным, то есть его мнимая часть была нулём, необходимо, чтобы $q - r d^\frac{1}{3}=0$.
Но тогда при $r\neq 0$ получаем $d^\frac{1}{3}=\frac{q}{r}$, что противоречит тому что $d^\frac{1}{3}\not \in F_{k-1}$,
а при $r=0$ получаем и $q=0$ что противоречит тому, что $r$ и $q$ не могут быть равны нулю одновременно.

Для случая же трисектора аналогично ничего хорошего придумать не могу...

[dgwuqtj]

Что-то у меня пока не получилось доказать вашу теорему 1. Аргумент из статьи явно неверный.

[warlock66613]

w64 в сообщении #1625282 писал(а):

Видимо, имеется в виду, что корни не рациональные.

Имеется в виду, что корни не мнимые.

[w64]

Ну, я имею в виду, что рассматриваются, видимо, уравнения только с не рациональными корнями, иначе, например, $x^3-8=0$ - очевидный контрпример, можно построить циркулем и линейкой. И вот среди таких тогда и только тогда...

[warlock66613]

w64, подразумевается геометрическое решение, когда дан отрезок длины единица и отрезки соответствующие коэффициентом. Вы могли бы конечно построить решение — отрезок длины 2, но для этого надо знать что данный вам отрезок в точности равен 8, а вы этого знать не можете.

[w64]

Хм. Не могу знать? Вот я взял с одного конца и циркулем восемь раз последовательно отложил единицу, получая точки на этом отрезке. И последней попал в конец. Я не могу понимать при построениях, совпадают точки или нет? А если я через эту восьмую точку и конец отрезка захочу провести прямую линейкой и потом искать её пересечения с другими прямыми? Это будет допустимо?

[EUgeneUS]

w64 в сообщении #1625400 писал(а):

Ну, я имею в виду, что рассматриваются, видимо, уравнения только с не рациональными корнями, иначе, например, $x^3-8=0$ - очевидный контрпример, можно построить циркулем и линейкой. И вот среди таких тогда и только тогда...

Не только тогда. Вот вам еще контрпример: $x^3 - 2\sqrt{2} = 0$
Корень иррациональный, но нет никаких проблем с построением его циркулем и линейкой.

[warlock66613]

w64 в сообщении #1625414 писал(а):

Я не могу понимать при построениях, совпадают точки или нет?

Не можете.

-- 10.01.2024, 13:54 --

w64 в сообщении #1625414 писал(а):

А если я через эту восьмую точку и конец отрезка захочу провести прямую линейкой и потом искать её пересечения с другими прямыми? Это будет допустимо?

Нет. Построение должно сопровождаться доказательством его корректности. Если нельзя доказать несовпадение точек, то доказательство не пройдёт. (Кроме особых случаев когда сгодится любая прямая проходящая через совпадающие точки.)

[dgwuqtj]

warlock66613, вроде всё-таки изначально дана другая задача. Имеются две точки на расстоянии 1 друг от друга и спрашивается, отрезки каких длин из них можно построить, выполняя все возможные построения отрезком, циркулем и трисектором. Общий алгоритм не требуется. Я даже не уверен, как надо строго формулировать задачу о построении чего-то именно алгоритмом из нескольких начальных отрезков.

В стартовом сообщении же определено конкретное поле $T$: наименьшее расширение $\mathbb Q$, замкнутое относительно извлечения квадратных корней из положительных чисел и добавления корней кубических многочленов с коэффициентами из $T$, у которых все корни вещественные. Спрашивается (в том числе), содержатся ли там числа $\sqrt[3]x$, где $x > 0$ целое, не являющееся точным кубом. Это чисто теоретико-числовая задача.

[dgwuqtj]

Вообще такое ощущение, что это открытая проблема.

[w64]

Кажется, я всё же нашёл нужное доказательство в работе R. C. Alperin "Trisections and Totally Real Origami", 2004 - теорема 5.1.

[dgwuqtj]

w64 в сообщении #1625581 писал(а):

Кажется, я всё же нашёл нужное доказательство в работе R. C. Alperin "Trisections and Totally Real Origami", 2004 - теорема 5.1.

Спасибо за ссылку. Что ж, там действительно используется теория Галуа.

Можно даже немножко упростить доказательство, если заметить, что $\mathbb{ET} = (\mathbb{ET} \cap \mathbb R)[i]$. Потому что можно извлекать квадратные корни из комплексных чисел, пользуясь только вещественными корнями и $i$.

[w64]

Спасибо всем за обсуждения. Буду разбираться и переделывать доказательство в "школьный" вид.