Пуассоновский процесс

[meshok]

Доброго времени суток!
Пусть $\{\xi_n, n\in\mathbb{N}\}$ независимые случайные величины с экспоненциальным распределением с параметром $\lambda$, $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$, $N_t=\sup\{n:\xi_1+\ldots+\xi_n\leq t\}$ - пуассоновский процесс.
Для каждого $t>0$ обозначим $V_t=S_{N_t+1}-t$. Нужно доказать, что $V_t$ также имеет экспоненциальное распределение.
Найдем характеристическую функцию $V_t$. Имеем

$$E(e^{ivS_{N_t+1}}|N_t=n)=E(e^{ivS_{n+1}})=(E(e^{iv\xi_1}))^{n+1}.$$

Тогда

$$ E(e^{ivS_{N_t+1}}|N_t)=(E(e^{iv\xi_1}))^{N_t+1}.$$

Затем

$$ E(e^{ivS_{N_t+1}})=E(E(e^{ivS_{N_t+1}}|N_t))=E\left((E(e^{iv\xi_1}))^{N_t+1}\right)=E(e^{iv\xi_1})E\left((E(e^{iv\xi_1}))^{N_t}\right).$$

Далее

$$\Large E\left((E(e^{iv\xi_1}))^{N_t}\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}(E(e^{iv\xi_1}))^k=e^{-\lambda t}e^{\lambda t E(e^{iv\xi_1})}.$$

Окончательно

$$\varphi(v)=e^{-itv}E(e^{iv\xi_1})e^{-\lambda t}e^{\lambda t E(e^{iv\xi_1})}.$$

Получили, что $V_t$ имеет какое-то другое распределение, а не экспоненциальное. Может кто-нибудь подсказать, это у меня где-то ошибка или в условии задачи?

[ShMaxG]

Утверждение кажется верным. Сомнительное действие у вас в том, что в первом же равенстве вы отбрасываете $N_t=n$, считая, будто случайные величины $N_t$ и $S_{n+1}$ независимы. На самом же деле $N_t=n$ равносильно $S_n<t,S_{n+1}>t$, поэтому слева и справа от черты будет стоять величина $S_{n+1}$.

Я бы решал проще, через функцию распределения, а не характеристическую функцию. Просто рассмотрите $\mathbb{P}(S_{N_t+1}-t<x\,|\,N_t=n)$ с учетом мной вышесказанного, все сводится к простому двукратному интегралу, который легко считается и получается ответ.

[meshok]

Да, большое спасибо! Про зависимость событий я сам потом понял, а вот что $P(S_{N_t+1}-t<x| N_t=n)$ можно вычислить через двойной интеграл,
если использовать распределения самих $S_n$ и $S_{n+1}$, а не переходя к совместному распределению $\xi_1,\ldots,\xi_{n+1}$, я не сообразил.