Утверждение кажется верным. Сомнительное действие у вас в том, что в первом же равенстве вы отбрасываете

, считая, будто случайные величины

и

независимы. На самом же деле

равносильно

, поэтому слева и справа от черты будет стоять величина

.
Я бы решал проще, через функцию распределения, а не характеристическую функцию. Просто рассмотрите

с учетом мной вышесказанного, все сводится к простому двукратному интегралу, который легко считается и получается ответ.