Реально ли решить уравнение аналитически красиво?

[oleg_2019]

$\sin^82x+\cos^72x=1$

Перебором понятно, что подходит $x=\pi k$, где $k$ - целое число.

А по поводу идей решения есть только такая $(1-\cos^2x)^4+\cos^72x=1$ и замена $y=\cos^2x$

$(1-y^2)^4+y^7=1$

Путем мучительных преобразований получаем $y^2 (y - 1) (y^5 + 2 y^4 - 2 y^3 - 2 y^2 + 4 y + 4)=0$ и тогда $y=0$ или $y=1$, а также нужно показать, что это уравенение не имеет решений $y^5 + 2 y^4 - 2 y^3 - 2 y^2 + 4 y + 4=0$ на промежутке $[-1;1]$ и это действительно так

Но неужели нет способа получше?=)

[ihq.pl]

oleg_2019 в сообщении #1625546 писал(а):

Но неужели нет способа получше?

Ну можно попробовать как нибудь представить единицу.

[warlock66613]

oleg_2019 в сообщении #1625546 писал(а):

$(1-\cos^2x)^4+\cos^72x=1$ и замена $y=\cos^2x$

Тут что-то не так.

[wrest]

oleg_2019 в сообщении #1625546 писал(а):

Перебором понятно, что подходит $x=\pi k$, где $k$ - целое число.

Есть и другие :) Косинус (и синус) за период проходят через ноль три раза, а не два.

[zykov]

Для $0 < q <1$ будет $q^7 < q^2$ и $q^8 < q^2$.
Так что здесь, если $a^2+b^2=1$, то $a^8+b^7=1$ только если одно из слагаемых равно $1$.

[ShMaxG]

oleg_2019 в сообщении #1625546 писал(а):

Но неужели нет способа получше?=)

Способ получше заключается в том, чтобы заметить, что единица -- это максимально возможное значение выражения слева. А именно $\sin^8{2x}+\cos^7{2x} \le \sin^2{2x}+\cos^2{2x}=1$ и равенство достигается только в понятно каких точках. В других точках будет неравенство строгое и там решений нет.

[oleg_2019]

ihq.pl в сообщении #1625549 писал(а):

Ну можно попробовать как нибудь представить единицу.

Спасибо.

$\sin^82x+\cos^72x=1$

$\sin^82x+\cos^72x=\sin^22x+\cos^22x$

$\sin^22x(\sin^62x-1)+\cos^22x(\cos^52x-1)=0$

Так нужно было сделать?=)

warlock66613 в сообщении #1625550 писал(а):

Тут что-то не так.

Да, пропустил двойку, опечатка при наборе.

wrest в сообщении #1625553 писал(а):

Есть и другие :) Косинус (и синус) за период проходят через ноль три раза, а не два.

Интереснее понять - как их получить скорее)

zykov в сообщении #1625558 писал(а):

Для $0 < q <1$ будет $q^7 < q^2$ и $q^8 < q^2$.
Так что здесь, если $a^2+b^2=1$, то $a^8+b^7=1$ только если одно из слагаемых равно $1$.

Спасибо. Очень хорошая идея. Нужно еще учесть отрицательные значения. Потому можно сказать так, что если $\a\cdot b\ne 0$, то для $-1<a<1$ и $-1<b<1$ выполняется оценка $a^8+b^7<a^2+b^2=1$. Будет ли так правильно?

-- 11.01.2024, 20:20 --

ShMaxG в сообщении #1625561 писал(а):

Способ получше заключается в том, чтобы заметить, что единица -- это максимально возможное значение выражения слева. А именно $\sin^8{2x}+\cos^7{2x} \le \sin^2{2x}+\cos^2{2x}=1$ и равенство достигается только в понятно каких точках. В других точках будет неравенство строгое и там решений нет.

Кажется Вы уже ответили на мой вопрос, спасибо

-- 11.01.2024, 20:20 --

ShMaxG в сообщении #1625561 писал(а):

Способ получше заключается в том, чтобы заметить, что единица -- это максимально возможное значение выражения слева. А именно $\sin^8{2x}+\cos^7{2x} \le \sin^2{2x}+\cos^2{2x}=1$ и равенство достигается только в понятно каких точках. В других точках будет неравенство строгое и там решений нет.

Кажется Вы уже ответили на мой вопрос, спасибо

[wrest]

oleg_2019 в сообщении #1625562 писал(а):

Интереснее понять - как их получить скорее)

Ну так и получить, выходит же что $a^8+b^7=1$ при этом возможные комбинации только $a=\pm1;b=0$ и $a=0;b=1$
Косинус равен единице в точках $2\pi n$ и это решения $2x=2\pi n$ -- это которое вы сразу написали.
Синус равен $\pm1$ в точках $\pi/2+\pi n$ это решения соответственно $2x=\pi n + \pi/2$ -- это которое вы не написали

[=SSN=]

oleg_2019 в сообщении #1625546 писал(а):

$\sin^82x+\cos^72x=1$

Перебором понятно, что подходит $x=\pi k$, где $k$ - целое число.

А по поводу идей решения есть только такая $(1-\cos^22x)^4+\cos^72x=1$

$\cos^7(2x)=1-(1-\cos^2(2x))^4$

$\cos^7(2x)=[1-(1-\cos^2(2x))^2]\cdot[1+(1-\cos^2(2x))^2]$

$\cos^7(2x)=[1-1+2\cdot\cos^2(2x)-\cos^4(2x)]\cdot[1+(1-\cos^2(2x))^2]$

$\cos^7(2x)=\cos^2(2x)\cdot[2-\cos^2(2x)]\cdot[1+(1-\cos^2(2x))^2]$

Очевидное решение этого уравнения: $\cos^2(2x) = 0$

Для $\cos^2(2x) \ne 0$ сокращая, находим:

$\cos^5(2x)=[2-\cos^4(2x)]\cdot[1+(1-\cos^2(2x))^2]$

Выражение слева меньше 1 для любых $ 2x \ne 2\pi\cdot k$

Выражение справа больше 1 для любых $ 2x \ne \pi\cdot k$

При $ 2x = 2\pi\cdot k$

выражения слева и справа равны.

Таким образом, корни уравнения равны:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\cdot k$

$ x = \pi\cdot k$

[ihq.pl]

oleg_2019 в сообщении #1625562 писал(а):

$\sin^22x(\sin^62x-1)+\cos^22x(\cos^52x-1)=0$

Так нужно было сделать?

Например:) Слева не больше нуля.