Композиция из объемных тел

[Attendant]

Вопрос обусловлен размышлениями на тему романа С.Лема «Непобедимый»
Представим себе, что некоторое объемное трехмерное тело составлено из других (однотипных) объемных тел (назовем такое тело - "основой").
Рассмотрим в этом контексте, например, куб, он образован в трехмерном пространстве 8 точками.
Т.о., если в качестве основы использовать куб, то каждая точка такой структуры будет связана (гранями) с 6 другими точками и только с 6.
Если в качестве основы использовать додекаэдр, то мне кажется (может я ошибаюсь) - что каждая точка такой структуры будет связана с 4 другими точками этой структуры.
Возможно ли существование структуры, в которой каждая точка такой структуры будет связана только с 3 другими точками этой структуры?

[gris]

На последний запрос тетраэдр не будет ответом?
Кажется, что у вершины додика побольше связанных.
Эта тема достаточно разработана для многогранников в обычном трёхмерном пространстве, но там даже с определением многогранника большие споры.

[Attendant]

мне кажется нет - посмотрите на рисунок - по определению, весь объем составлен из "основы", если основа - тетраэдр, приложим к плоскости лямбда еще один такой же тетраэдр, тогда точка (вершина "А") оказывается связана уже с 4 точками, а если заполнять объем тетраэдрами дальше, то окажется что каждая точка связана гораздо более, чем с 4 точками (думается мне)

невозможно вставить картинку, даже после установки размера картинки 800Х600, пишет - "Не удалось определить размеры изображения"
указываю URL картинки
https://postimg.cc/JGzyHk7M

[mihaild]

Attendant в сообщении #1625365 писал(а):

приложим к плоскости лямбда еще один такой же тетраэдр

И получим другое тело, которое даже многогранником ИМХО странно называть.
Я понял вопрос так: взяли многогранник (в каком-то разумном смысле), взяли вершины, объявили связанными вершины, принадлежащие одной грани. И хотим, чтобы каждая вершина была связана с 3.
Если вопрос в чем-то другом - то напишите, пожалуйста, более четко.

[diletto]

Attendant в сообщении #1625338 писал(а):

если в качестве основы использовать куб, то каждая точка такой структуры будет связана (гранями) с 6 другими точками и только с 6

Непонятно, как минимум, выделенное выше. Кроме того, есть сомнение, что под "точкой структуры" понимается именно точка (вершина).

[sergey zhukov]

Attendant в сообщении #1625338 писал(а):

Т.о., если в качестве основы использовать куб, то каждая точка такой структуры будет связана (гранями) с 6 другими точками и только с 6.

Я думаю, имелось ввиду "вершины, связанные ребрами". Тогда у вершины в кубической решетке 6 соседей. Для решетки из кубов любая вершина входит в состав 12 разных граней. В состав этих 12 граней входят 6 соседей по ребрам и 18 соседей по граням (соседи по граням - все вершины принадлежат одной грани).

Плоская структура в виде сот дает трех соседей. А вот объемная - не уверен.

[Attendant]

sergey zhukov в сообщении #1625373 писал(а):

Attendant в сообщении #1625338 писал(а):

Т.о., если в качестве основы использовать куб, то каждая точка такой структуры будет связана (гранями) с 6 другими точками и только с 6.

Я думаю, имелось ввиду "вершины, связанные ребрами". Тогда у вершины в кубической решетке 6 соседей. Для решетки из кубов любая вершина входит в состав 12 разных граней. В состав этих 12 граней входят 6 соседей по ребрам и 18 соседей по граням (соседи по граням - все вершины принадлежат одной грани).

я прошу прощения у всех участников этого обсуждения, за ошибку в описании, да, конечно - "вершины, связанные ребрами", где вершины - это точки, которые образуют структуру.

-- 09.01.2024, 17:28 --

sergey zhukov в сообщении #1625373 писал(а):

Attendant в сообщении #1625338 писал(а):

Плоская структура в виде сот дает трех соседей. А вот объемная - не уверен.

Совершенно верно сказано - вопрос как раз в том, что плоский правильный пятигранник (и шестигранник) дает трех соседей, объемная структура из додекаэдров - вроде бы четырех соседей.
Возможна ли объемная структура с тремя соседями?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: для начала сюда.

[sergey zhukov]

Attendant
Если взять правильный многогранник (платоново тело, которых всего пять, и додекаэдр среди них), то для заполнения пространства без пустот только куб подходит. А додекаэдр - нет. Так что сначала нужно определиться, чем мы будем заполнять. Посмотрите вообще в сети "Заполнение пространства многогранниками", там много разных вариантов. Если говорить о заполнении плоскости, то это только правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Никаких пятиугольников (правильных, конечно).

Ясно, что объемный угол любого многогранника содержит не менее трех ребер, сходящихся в одной вершине. Так что у вершины точно будет не менее трех соседей даже внутри одного многогранника. А с учетом соседних многогранников в решетке соседей у вершины должно быть больше трех. Если же говорить просто о графе, в каждой вершине которого сходится по три ребра, то такое придумать можно.