Изоградиентные функции

[Red_Herring]

Характеристикой УЧП первого порядка называется траектория. В частности, для уравнения $a(x,y)u_x + b(x,y)u_y=0$ это будет любая траектория $\frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)}=\frac{du}{0}$ с прямым обобщением на квазилинейные уравнения. Для нелинейных уравнений $F(x,y,u,u_x,u_y)=0$ обобщение более сложное.

[пианист]

Чет на вопрос-то так никто и не ответил.
См., например, Кудрявцев, второй том, п.42.2.

[Утундрий]

пианист в сообщении #1625174 писал(а):

Чет на вопрос-то так никто и не ответил.
См., например, Кудрявцев, второй том, п.42.2.

Меня всегда умиляли, и продолжают умилять, подобные "ответы".

[svv]

Утундрий

Кудрявцев писал(а):

Если во всех точках области $G$ градиенты $\nabla\varphi_1, \ldots ,\nabla\varphi_{m}$ линейно зависимы, то у каждой точки $x\in G$ существует ее окрестность, в которой функции $\varphi_1, \ldots , \varphi_m$ зависимы. При этом, если, например, градиенты $\nabla\varphi_1, \ldots ,\nabla\varphi_{m-1}$ линейно независимы в некоторой точке, и, следовательно, градиент $\nabla\varphi_m$ этой точке является их линейной комбинацией, то в окрестности рассматриваемой точки функция $\varphi_m$ зависит от функций $\varphi_1, \ldots ,\varphi_{m-1}$.

Это даёт хотя бы частичный ответ на Ваш вопрос?

[Утундрий]

Спасибо за цитату. А он, случаем, не поясняет в других местах, что значит "функции зависимы"?

[dgwuqtj]

пианист в сообщении #1625174 писал(а):

См., например, Кудрявцев, второй том, п.42.2.

Кажется, там речь идёт про случай общего положения, когда градиент одной из функций ненулевой. Тогда всё просто, с точностью до замены координат $u(x_1, \ldots, x_n) = x_1$ и $v$ является функцией от $x_1$. У Кудрявцева зависимость означает, что одна функция выражается как композиция всех остальных с некоторой гладкой функцией от $m - 1$ переменной.

[Padawan]

Утундрий
Функция $\varphi_m(x)$ зависит от функций $\varphi_1(x),\ldots,\varphi_{m-1}(x)$ в области $G\subset\mathbb R^n$, если $\varphi_m(x)=f(\varphi_1(x), \ldots, \varphi_{m-1}(x)) $ для всех $x\in G$, где $f(y_1, \ldots, y_{m-1}) $ -- непрерывно дифференцируемая функция на открытом в $\mathbb R^{m-1}$ множестве.