Фундаментальная физика - новая математика?

[informix]

Вопрос вот в чем собственно:

Нынешний математический язык физики в подавляющем состоит из дифференциального исчисления - исчисления бесконечно малых.

Здесь примеров - вагон и тележка. От школьных законов Ньютона/уравнений Лагранжа/Гамильтона-Якоби до уравнений для полей Янга-Миллса и Эйнштейна.

Но ведь понятие бесконечно малой величины (пространственной/временной) - это все-таки математическая модель.

Потому как в реальном эксперименте не могут быть измерены сколь угодно малые их величины.
Вспомним ответ Гейзенберга - "Задавайте мне только такие вопросы, на которые я смогу ответить экспериментально".

Не может ли быть, что из-за неподходящего математического аппарата/инструмента и проистекают такие трудности, как всяческие расходимости?

ЗЫ
Может я и сформулировал свои соображения несколько "коряво".
Но для классической физики, то есть для масштабов пространственных/временных соотносящихся с размерами мыслящих существ - понятие бесконечно малых хорошо работает.

Но если, к примеру, на нейтронной звезде возможны мыслящие существа - то наверняка и математика у них, для описания мира, будет несколько иная. Вот бы ее узнать...

[wrest]

informix в сообщении #1590659 писал(а):

Но если, к примеру, на нейтронной звезде возможны мыслящие существа - то наверняка и математика у них, для описания мира, будет несколько иная.

Ну и на Земле идеи менялись, от Эвклидова пространства-времени, к псевдо-Эвклидовому (Минковского).
Идеи о бесконечно малых тоже разные есть, типа нестандартного анализа.

informix в сообщении #1590659 писал(а):

Не может ли быть, что из-за неподходящего математического аппарата/инструмента и проистекают такие трудности, как всяческие расходимости?

Ну а из-за чего же ещё. Математика это идеальный мир (мир идей), "реальный" мир (мир вещей) не обязан ему полностью соответствовать.

[StepV]

informix в сообщении #1590659 писал(а):

Не может ли быть, что из-за неподходящего математического аппарата/инструмента и проистекают такие трудности, как всяческие расходимости?

Заданный вами вопрос все больше становится актуальным. Года два назад на этом форуме я предлагал рассмотреть подобный вопрос и несколько человек отозвались, но в основном были отрицательные или юмористические комментарии.
У меня сложилось мнение похожее с вашим, только я предложил конкретный вопрос для рассмотрения. Классическая физика работает в пространстве, где действует всем хорошо известный матан. Но для квантово-механического случая нам следует внимательно рассмотреть возможность нового подхода. Я для первичного примера предложил рассмотреть возможность, что для фундаментальной последовательности попробовать изменить определение. Добавить такое предложение, что для $\varepsilon_{min}$ существует такое $N_{max}$, что разница $|x_n - x_m| \approx \varepsilon_{min}$, т.е при предельном переходе мы упираемся в некую границу точности и дальнейшие увеличение $N$ дает нам случайные значения около $\varepsilon_{min}$. Интересно, как в этом случае изменится определение производной и вычисление производных из элементарных функций.
Надеюсь, что для ваших размышлений данная информация будет полезна.

[diletto]

wrest в сообщении #1590663 писал(а):

Ну а из-за чего же ещё. Математика это идеальный мир (мир идей), "реальный" мир (мир вещей) не обязан ему полностью соответствовать.

Мне приходило как-то в голову, что парадокс Банаха-Тарского является свидетельством того, что физическая материя дискретна. Т.е. если бы мы ещё не знали об элементарных частицах, то могли бы предположить их теоретически, раз выводы континуальной математики не подтверждаются опытом.

[sergey zhukov]

informix
Даже если мы уверены, что континуум неточно описывает ситуацию и есть более точные представления, все равно часто его используем. Ведь это хорошее приближение. И некоторые расходимости совершенно точно проистекают из попыток применить это приближение там, где оно уже совсем не подходит.

[sergey zhukov]

Вот, кстати, один из хороших примеров расходимости такого типа: ультрафиолетовая катастрофа. Пока непрерывное представление не заменили на дискретное, этот результат, следующий из непрерывной модели, был совершенно непонятным.

[pppppppo_98]

sergey zhukov в сообщении #1624779 писал(а):

Вот, кстати, один из хороших примеров расходимости такого типа: ультрафиолетовая катастрофа.

скорее даже инфракрасная... там то точно когда от неограниченных множеств к бикомпактам переходят тут же расходимость и уходит

[zhyks1961]

informix в сообщении #1590659 писал(а):

Вопрос вот в чем собственно:

Нынешний математический язык физики в подавляющем состоит из дифференциального исчисления - исчисления бесконечно малых.
...
Но если, к примеру, на нейтронной звезде возможны мыслящие существа - то наверняка и математика у них, для описания мира, будет несколько иная. Вот бы ее узнать...

.
интересно, что имеющая гладкий непрерывный график на плоскости функция 1/ln(x) не интегрируется в известных функциях, то есть не срабатывает переход от линии графика к площади через бесконечно малые. Причем есть величина площади. И производная.
.
почти подобное случилось когда не оказалось не только числа для измерения диагонали квадрата, но и физического отрезка составленного из равных частей стороны квадрата. Что стало доказательством атомарности реального мира.
.
Была сложность и невозможность аналитического описания гелиоцентризма через геоцентризм. При другом подходе все стало на свои круги и упростилось до прежнего уровня. Возможно сегодня с микромиром происходит то же самое. Опыт в пользу этого.

[Anton_Peplov]

zhyks1961 в сообщении #1624937 писал(а):

интересно, что имеющая гладкий непрерывный график на плоскости функция 1/ln(x) не интегрируется в известных функциях

Вы хотели сказать "не интегрируется в элементарных функциях". Элементарные функции - гораздо более узкий класс функций, чем интегрируемые, дифференцируемые, гладкие или даже аналитические функции. Класс элементарных функций выделен скорее по историческим причинам. Никаких особых математических преимуществ перед неэлементарными функциями они не имеют и уж точно не исчерпывают возможностей дифференциального и интегрального исчисления.

[sergey zhukov]

zhyks1961
Да уж. Функция, определенная через интеграл, ничем не хуже функции, скажем, $\sqrt{x}$. Просто букву специальную (например, как для $\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-t^2}dt$) для нее пока никто не ввел.

zhyks1961 в сообщении #1624937 писал(а):

почти подобное случилось когда не оказалось не только числа для измерения диагонали квадрата, но и физического отрезка составленного из равных частей стороны квадрата. Что стало доказательством атомарности реального мира.

Тут, скорее, наоборот. Соизмеримость диагонали квадрата со стороной не противоречила бы тому, что любой геометрический чертеж состоит из "атомных" отрезков, т.е. таких мельчайших отрезков, которые целое число раз укладываются в любом отрезке этого чертежа (все отрезки чертежа кратны ему). Открытие несоизмеримости диагонали со стороной как раз свидетельствовало скорее против атомарности реального мира. А еще скорее вообще ничего о реальном мире не говорило, а указывало просто на свойство идеализированной модели, которое наверняка не имеет отношения к реальному миру.

[wrest]

zhyks1961 в сообщении #1624937 писал(а):

что имеющая гладкий непрерывный график на плоскости функция 1/ln(x) не интегрируется в известных функциях,

Непрерывный? И чему это равно при $x=1$? И кому известных? Интегральный логарифм имеет свою статью в Википедии. Имеет вполне устоявшееся обозначение $\operatorname{li} (x)$ Ещё Эйлер ввёл эту функцию. Этого достаточно, чтобы быть "известной функцией"?

[Ende]

Выделена тема «Еще раз о классе элементарных функций»

[zhyks1961]

sergey zhukov в сообщении #1624939 писал(а):

Тут, скорее, наоборот. Соизмеримость диагонали квадрата со стороной не противоречила бы тому, что любой геометрический чертеж состоит из "атомных" отрезков, т.е. таких мельчайших отрезков, которые целое число раз укладываются в любом отрезке этого чертежа (все отрезки чертежа кратны ему). Открытие несоизмеримости диагонали со стороной как раз свидетельствовало скорее против атомарности реального мира. А еще скорее вообще ничего о реальном мире не говорило, а указывало просто на свойство идеализированной модели, которое наверняка не имеет отношения к реальному миру.

.
у греков тоже есть разные предположения.
.
-отсутствие несоизмеримости ведет к невозможности построения предметной материи.
-несоизмеримость может вести как к выводу о недостаточной делимости, так и к атомарности. Парадокс Зенона док-во в пользу второго. Иначе бы "не было движения".
.
Аристотель.
[*Как мы говорили, все начинают с удивления, обстоит ли дело таким именно образом, как удивляются, например, загадочным самодвижущимся игрушкам, или солнцеворотам, или несоизмеримости диагонали, ибо всем, кто еще не усмотрен причину, кажется удивительным, если что-то нельзя измерить самой малой мерой. ]
.
https://royallib.com/read/aristotel/metafizika.html#0

[sergey zhukov]

zhyks1961
Ну, разные выводы можно делать из факта несоизмеримости, конечно. Можно подумать, что раз такой треугольник нельзя построить из атомов, значит, нет никаких атомов, а есть континуум. Можно, наоборот, подумать, что раз такой треугольник нельзя построить из атомов, то в атомарном мире нет таких треугольников.

Помню, я как-то раз подумал, что открытие неевклидовой геометрии было фактически равносильно теоретическому открытию нового свойства пространства - кривизны пространства. И, следовательно, встает вопрос определения величины этого вновь открытого параметра (то, чем занимался Гаусс). Но что было открыто на самом деле? Только то, что если бы эксперимент действительно показал, что у пространства есть свойство кривизны, то у нас уже есть мат.модель для этого случая.

Аналогично, открытие несоизмеримости диагонали со стороной не ведет ни к какому открытию о реальном мире, на мой взгляд. Это артефакт, свойство модели, которую мы придумали. Мало ли какие у нее (придуманной модели) могут быть свойства?

Иногда, правда, наша придуманная модель может подсказать, куда двигаться. Скажем, когда Галилией проводил опыты с падающими/катящимися телами, он, по мнению некоторых исследователей, "подправил" свои экспериментальные результаты согласно теоретической параболе, и на самом деле его данные от этого стали только точнее. Теория "подправляет" данные эксперимента.

[zhyks1961]

diletto в сообщении #1590830 писал(а):

wrest в сообщении #1590663 писал(а):

Ну а из-за чего же ещё. Математика это идеальный мир (мир идей), "реальный" мир (мир вещей) не обязан ему полностью соответствовать.

Мне приходило как-то в голову, что парадокс Банаха-Тарского является свидетельством того, что физическая материя дискретна. Т.е. если бы мы ещё не знали об элементарных частицах, то могли бы предположить их теоретически, раз выводы континуальной математики не подтверждаются опытом.

.
а можно сказать, что парадокс Банаха-Тарского равносилен тождественности ряда N двум рядам, например четных и нечетных чисел? Не более. Тот же принцип бесконечного деления и неограниченности.
.