любои четырехугольник

[paranoidandroid]

Докажите, что если в четырехугольнике (со сторонами $a, b , c , d$ ) можно вписать (или описать) окружность , то площадь четырехугольника будет $S=\sqrt{abcd}$.



Понятия не имею, с чего начать.. Я мог написать только это : $S=\frac{1}{2}(a+b+c+d)R$

[waxtep]

paranoidandroid в сообщении #1622399 писал(а):

Докажите, что если в четырехугольнике (со сторонами $a, b , c , d$ ) можно вписать (или описать) окружность , то площадь четырехугольника будет $S=\sqrt{abcd}$.

Что-то не так с условием: в ромб можно вписать окружность, но площадь его меньше квадрата стороны (если ромб - не квадрат)

[Combat Zone]

paranoidandroid в сообщении #1622399 писал(а):

Докажите, что если в четырехугольнике (со сторонами $a, b , c , d$ ) можно вписать (или описать) окружность , то площадь четырехугольника будет $S=\sqrt{abcd}$.

Не так - в постановке задачи. Не "или". А "и".

Четырехугольник является и вписанным, и описанным, разумеется, относительно разных окружностей.
Так и называется - вписанно-описанный.
Для начала можно в пресловутой википедии почерпнуть идеи.

[paranoidandroid]

Надеюсь, что вы правы.. иначе у меня вообще нет идей

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1622407 писал(а):

Надеюсь, что вы правы..

А что тут "надеяться"? Уважаемый Combat Zone привел пример с ромбом, и всё стало очевидно.
а) в ромб можно вписать окружность всегда.
б) при фиксированной длин сторон ромба его площадь можно сделать сколько угодно малой.

[wrest]

paranoidandroid в сообщении #1622407 писал(а):

Надеюсь, что вы правы..

Да, по отдельности ни вписанности ни описанности недостаточно.

[Combat Zone]

EUgeneUS в сообщении #1622408 писал(а):

А что тут "надеяться"? Уважаемый Combat Zone привел пример с ромбом, и всё стало очевидно.

Справедливости ради, пример не мой. Но на формулировке спотыкаешься сразу - вписанный и описанный обладают слишком разными свойствами, а предлагают доказать настолько мощное свойство площади якобы для обоих. Слишком неправдоподобно.

[Евгений Машеров]

И для описанного контрпример простой. Устремляем одну сторону (a, для определённости) к нулю, сохраняя описанность. Площадь стремится к $\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d)}, p=\frac {b+c+d} 2, величина $S=\sqrt{abcd}$ к нулю.

[Евгений Машеров]

Мне отчего-то формула Брахмагупты вспомнилась, для вписанного в окружность четырёхугольника: $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где p - полупериметр.
Что ещё? Можно, в силу наличия вписанной окружности, разбить на 8 прямоугольных треугольников, один из катетов равен радиусу вписанной окружности, гипотенузы, соединяющие центр этой окружности с вершинами, у соседних общие, то есть у соседних "по гипотенузе" и вторые катеты равны, то есть стороны можно разбить на две части каждую, $a_2=b_1, b_2=c_1, c_2=d_1, d_2=a_1$, но что это даст и как приложить к формуле Брахмагупты - не вем.

[RIP]

Евгений Машеров в сообщении #1622446 писал(а):

Мне отчего-то формула Брахмагупты вспомнилась, для вписанного в окружность четырёхугольника: $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где p - полупериметр.
Что ещё?

Собственно, если четырёхугольник ещё и описанный, то эта формула превращается в $S=\sqrt{abcd}$. ($p-a=c$ итд.)

[Евгений Машеров]

Точно!
Недокрутил я, что из

Евгений Машеров в сообщении #1622446 писал(а):

...в силу наличия вписанной окружности, разбить на 8 прямоугольных треугольников, один из катетов равен радиусу вписанной окружности, гипотенузы, соединяющие центр этой окружности с вершинами, у соседних общие, то есть у соседних "по гипотенузе" и вторые катеты равны, то есть стороны можно разбить на две части каждую, $a_2=b_1, b_2=c_1, c_2=d_1, d_2=a_1$

следует, что $a+c=b+d=\frac {a+b+c+d} 2=p$ и $p-a=c$ и т.п.
(наверно, это теорема, которую я обязан знать, но уж очень давно геометрию учил... А "формула Брахмагупты" (и Герона) просто лучше запоминается, как почти контринтуитивное, но работающее и доказуемое...)
Q.E.D.

[paranoidandroid]

[quote="RIP[/quote]Собственно, если четырёхугольник ещё и описанный, то эта формула превращается в $S=\sqrt{abcd}$. ($p-a=c$ итд.)[/quote]


А как формула Брахмагупты превратилась в $S=\sqrt{abcd}$?

[TOTAL]

paranoidandroid в сообщении #1622609 писал(а):

А как формула Брахмагупты превратилась в $S=\sqrt{abcd}$?

Формула Брахмагупты узнала, как связаны стороны описанного четырёхугольника, а затем и превратилась.

[Tosha]

paranoidandroid в сообщении #1622609 писал(а):

А как формула Брахмагупты превратилась в $S=\sqrt{abcd}$?

Ответ на Ваш вопрос был до того как Вы его задали