2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 любои четырехугольник
Сообщение14.12.2023, 18:14 


09/07/20
133
Докажите, что если в четырехугольнике (со сторонами $a, b , c , d$ ) можно вписать (или описать) окружность , то площадь четырехугольника будет $S=\sqrt{abcd}$.



Понятия не имею, с чего начать.. :facepalm: Я мог написать только это : $S=\frac{1}{2}(a+b+c+d)R$ :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение14.12.2023, 19:05 
Аватара пользователя


07/01/16
1654
Аязьма
paranoidandroid в сообщении #1622399 писал(а):
Докажите, что если в четырехугольнике (со сторонами $a, b , c , d$ ) можно вписать (или описать) окружность , то площадь четырехугольника будет $S=\sqrt{abcd}$.
Что-то не так с условием: в ромб можно вписать окружность, но площадь его меньше квадрата стороны (если ромб - не квадрат)

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение14.12.2023, 19:14 
Аватара пользователя


22/11/22
759
paranoidandroid в сообщении #1622399 писал(а):
Докажите, что если в четырехугольнике (со сторонами $a, b , c , d$ ) можно вписать (или описать) окружность , то площадь четырехугольника будет $S=\sqrt{abcd}$.

Не так - в постановке задачи. Не "или". А "и".

Четырехугольник является и вписанным, и описанным, разумеется, относительно разных окружностей.
Так и называется - вписанно-описанный.
Для начала можно в пресловутой википедии почерпнуть идеи.

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение14.12.2023, 19:19 


09/07/20
133
Надеюсь, что вы правы.. иначе у меня вообще нет идей :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение14.12.2023, 19:38 
Аватара пользователя


11/12/16
14632
уездный город Н
paranoidandroid в сообщении #1622407 писал(а):
Надеюсь, что вы правы..


А что тут "надеяться"? Уважаемый Combat Zone привел пример с ромбом, и всё стало очевидно.
а) в ромб можно вписать окружность всегда.
б) при фиксированной длин сторон ромба его площадь можно сделать сколько угодно малой.

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение14.12.2023, 20:03 


05/09/16
12341
paranoidandroid в сообщении #1622407 писал(а):
Надеюсь, что вы правы..

Да, по отдельности ни вписанности ни описанности недостаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение14.12.2023, 20:45 
Аватара пользователя


22/11/22
759
EUgeneUS в сообщении #1622408 писал(а):
А что тут "надеяться"? Уважаемый Combat Zone привел пример с ромбом, и всё стало очевидно.

Справедливости ради, пример не мой. Но на формулировке спотыкаешься сразу - вписанный и описанный обладают слишком разными свойствами, а предлагают доказать настолько мощное свойство площади якобы для обоих. Слишком неправдоподобно.

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение15.12.2023, 08:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10161
Москва
И для описанного контрпример простой. Устремляем одну сторону (a, для определённости) к нулю, сохраняя описанность. Площадь стремится к $\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d)}, p=\frac {b+c+d} 2, величина $S=\sqrt{abcd}$ к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение15.12.2023, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10161
Москва
Мне отчего-то формула Брахмагупты вспомнилась, для вписанного в окружность четырёхугольника: $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где p - полупериметр.
Что ещё? Можно, в силу наличия вписанной окружности, разбить на 8 прямоугольных треугольников, один из катетов равен радиусу вписанной окружности, гипотенузы, соединяющие центр этой окружности с вершинами, у соседних общие, то есть у соседних "по гипотенузе" и вторые катеты равны, то есть стороны можно разбить на две части каждую, $a_2=b_1, b_2=c_1, c_2=d_1, d_2=a_1$, но что это даст и как приложить к формуле Брахмагупты - не вем.

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение15.12.2023, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835
Евгений Машеров в сообщении #1622446 писал(а):
Мне отчего-то формула Брахмагупты вспомнилась, для вписанного в окружность четырёхугольника: $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где p - полупериметр.
Что ещё?
Собственно, если четырёхугольник ещё и описанный, то эта формула превращается в $S=\sqrt{abcd}$. ($p-a=c$ итд.)

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение15.12.2023, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10161
Москва
Точно!
Недокрутил я, что из
Евгений Машеров в сообщении #1622446 писал(а):
...в силу наличия вписанной окружности, разбить на 8 прямоугольных треугольников, один из катетов равен радиусу вписанной окружности, гипотенузы, соединяющие центр этой окружности с вершинами, у соседних общие, то есть у соседних "по гипотенузе" и вторые катеты равны, то есть стороны можно разбить на две части каждую, $a_2=b_1, b_2=c_1, c_2=d_1, d_2=a_1$

следует, что $a+c=b+d=\frac {a+b+c+d} 2=p$ и $p-a=c$ и т.п.
(наверно, это теорема, которую я обязан знать, но уж очень давно геометрию учил... А "формула Брахмагупты" (и Герона) просто лучше запоминается, как почти контринтуитивное, но работающее и доказуемое...)
Q.E.D.

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение16.12.2023, 12:45 


09/07/20
133
[quote="RIP[/quote]Собственно, если четырёхугольник ещё и описанный, то эта формула превращается в $S=\sqrt{abcd}$. ($p-a=c$ итд.)[/quote]


А как формула Брахмагупты превратилась в $S=\sqrt{abcd}$? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение16.12.2023, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
paranoidandroid в сообщении #1622609 писал(а):
А как формула Брахмагупты превратилась в $S=\sqrt{abcd}$? :facepalm:

Формула Брахмагупты узнала, как связаны стороны описанного четырёхугольника, а затем и превратилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: любои четырехугольник
Сообщение28.12.2023, 22:45 


10/09/13
216
paranoidandroid в сообщении #1622609 писал(а):
А как формула Брахмагупты превратилась в $S=\sqrt{abcd}$? :facepalm:

Ответ на Ваш вопрос был до того как Вы его задали

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group