Неравенство

[Padawan]

Пусть $f(x)$ -- кусочно-гладкая непрерывная на отрезке $[0,\pi]$ функция, такая, что $f(0)=f(\pi)=0$. Доказать, что $\int_0^\pi f^2(x)dx\leqslant \int_0^\pi f'^2(x)dx$. При этом знак равенства имеет место только для функции вида $f(x)=C\sin x$.

[thething]

Мне нравится доказательство, исходя из неравенства $\displaystyle\int\limits_0^\pi(f'(x)-f(x)\ctg x)^2dx\ge0.$

[Padawan]

Интересно, покажите.

[thething]

Padawan
Собственно, надо раскрыть квадрат и проинтегрировать по частям среднее слагаемое: $\displaystyle\int\limits_0^\pi2ff'\ctg xdx=\displaystyle\int\limits_0^\pi\ctg xdf^2=\displaystyle\int\limits_0^\pi\dfrac{f^2}{\sin^2x}dx$. Внеинтегральные слагаемые обнуляются по правилу Лопиталя.

[Padawan]

Понял.