2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство
Сообщение28.12.2023, 17:42 
Пусть $f(x)$ -- кусочно-гладкая непрерывная на отрезке $[0,\pi]$ функция, такая, что $f(0)=f(\pi)=0$. Доказать, что $\int_0^\pi f^2(x)dx\leqslant \int_0^\pi f'^2(x)dx$. При этом знак равенства имеет место только для функции вида $f(x)=C\sin x$.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.12.2023, 17:51 
Аватара пользователя
Мне нравится доказательство, исходя из неравенства $\displaystyle\int\limits_0^\pi(f'(x)-f(x)\ctg x)^2dx\ge0.$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.12.2023, 18:04 
Интересно, покажите.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.12.2023, 18:10 
Аватара пользователя
Padawan
Собственно, надо раскрыть квадрат и проинтегрировать по частям среднее слагаемое: $\displaystyle\int\limits_0^\pi2ff'\ctg xdx=\displaystyle\int\limits_0^\pi\ctg xdf^2=\displaystyle\int\limits_0^\pi\dfrac{f^2}{\sin^2x}dx$. Внеинтегральные слагаемые обнуляются по правилу Лопиталя.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.12.2023, 18:14 
Понял.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group