Неподвижные точки

[pan555]

Можно ли доказать, что для многомерных дробно-линейных преобразований в п-мерном пространстве с одинаковыми знаменателями количество неподвижных точек равно ( n+1)?

[dgwuqtj]

Вы имеете в виду преобразования вида $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\frac{f_1(x_1, \ldots, x_n)}{f_0(x_1, \ldots, x_n)}, \ldots, \frac{f_n(x_1, \ldots, x_n)}{f_0(x_1, \ldots, x_n)})$, где $f_k(x_1, \ldots, x_n)$ - многочлены первой степени? Они даже не всюду определены.

В случае $n = 1$ это будет $x \mapsto \frac{ax + b}{cx + d}$. Если $ad \neq bc$, то может быть от 0 до 2 неподвижных точек: у $x \mapsto -\frac 1 x$ и $x \mapsto x + 1$ неподвижных точек нет, у $x \mapsto 2x$ и $x \mapsto \frac{x}{x + 1}$ она одна, у $x \mapsto \frac 1 x$ их две.

-- 28.12.2023, 14:03 --

Вообще по-хорошему надо работать в проективном пространстве $\mathbb P^n_{\mathbb R}$, а не в аффинном. Там соответствующие проективные преобразования имеют вид $[X_0 : \ldots : X_n] \mapsto [F_0(X_0, \ldots, X_n) : \ldots : F_n(X_0, \ldots, X_n)]$ в однородных координатах, где $F_k$ - однородные многочлены первой степени (и $f_k(x_1, \ldots, x_n) = F_k(1, x_1, \ldots, x_n)$). Тогда изучение неподвижных точек сводится к линейной алгебре. А в аффинном случае надо дополнительно выкидывать неподвижные точки, попавшие на бесконечность.

[pan555]

Вы всё правильно поняли.
Буду разбираться.

[pan555]

По случаю n=1 неподвижные точки могут совпадать или одна из них или оба будут в ~.Поэтому можно считать, что их 2.

[Padawan]

pan555 в сообщении #1624267 писал(а):

По случаю n=1 неподвижные точки могут совпадать или одна из них или оба будут в ~.Поэтому можно считать, что их 2.

Какая есть неподвижная точка у отображения $x\mapsto -\frac1x$?

[pan555]

Padawan в сообщении #1624275 писал(а):

pan555 в сообщении #1624267 писал(а):

По случаю n=1 неподвижные точки могут совпадать или одна из них или оба будут в ~.Поэтому можно считать, что их 2.

Какая есть неподвижная точка у отображения $x\mapsto -\frac1x$?

Можно считать, что этого отображения есть 2 неподвижные мнимые точки +/- i.

[dgwuqtj]

pan555 в сообщении #1624387 писал(а):

Можно считать, что этого отображения есть 2 неподвижные мнимые точки +/- i.

Даже если вы работаете над комплексными числами, надо понимать, как считать неподвижные точки с учётом кратности. Как вариант, можно взять схему неподвижных точек и считать размерности её локальных колец... А если как-то кратность определять вы умеете, то и доказать будет очень просто. Я сам без языка схем не умею, но если уж эту науку использовать, то можно и над вещественными числами всё делать, тогда у $x \mapsto -1/x$ будет одна неподвижная точка с полем вычетов $\mathbb C$.

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1624437 писал(а):

pan555 в сообщении #1624387 писал(а):

Можно считать, что этого отображения есть 2 неподвижные мнимые точки +/- i.

Я сам без языка схем не умею, но если уж эту науку использовать, то можно и над вещественными числами всё делать, тогда у $x \mapsto -1/x$ будет одна неподвижная точка с полем вычетов $\mathbb C$.

Подробнее можно ?
Как именно вы это сделаете ?

[dgwuqtj]

Давайте ограничимся аффинной прямой без нуля, то есть $\mathrm{Spec}(\mathbb R[t, 1/t])$. Схема неподвижных точек - это уравнитель тождественного морфизма и морфизма, задаваемого формулой $-1/t$. То есть это спектр коуравнителя соответствующих гомоморфизмов колец $\mathrm{id}, t \mapsto -1/t \colon \mathbb R[t, 1/t] \to \mathbb R[t, 1/t]$. Коуравнителем будет, понятно, $\mathbb R[t, 1/t] / (t - (-1/t)) = \mathbb R[t] / (t^2 + 1) \cong \mathbb C$. Ну а для всей проективной прямой можно отдельно проверить, что других неподвижных точек нет.