Вы имеете в виду преобразования вида
![$(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\frac{f_1(x_1, \ldots, x_n)}{f_0(x_1, \ldots, x_n)}, \ldots, \frac{f_n(x_1, \ldots, x_n)}{f_0(x_1, \ldots, x_n)})$ $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\frac{f_1(x_1, \ldots, x_n)}{f_0(x_1, \ldots, x_n)}, \ldots, \frac{f_n(x_1, \ldots, x_n)}{f_0(x_1, \ldots, x_n)})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/c/13c369e3cf80939e28d0a2607cb45f3682.png)
, где
![$f_k(x_1, \ldots, x_n)$ $f_k(x_1, \ldots, x_n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/e/73e4f85def84f81f72e42990153c901d82.png)
- многочлены первой степени? Они даже не всюду определены.
В случае
![$n = 1$ $n = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/3/e1358fc9fbfa5b82243d29c7f4a7bbb282.png)
это будет
![$x \mapsto \frac{ax + b}{cx + d}$ $x \mapsto \frac{ax + b}{cx + d}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/7/f375658bf1977034e1e04dba8ac3366082.png)
. Если
![$ad \neq bc$ $ad \neq bc$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/9/579c5998b9973b6e7fc3778ac86b706e82.png)
, то может быть от 0 до 2 неподвижных точек: у
![$x \mapsto -\frac 1 x$ $x \mapsto -\frac 1 x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/3/b038507ac9d99a3c841fdbbcd090c73f82.png)
и
![$x \mapsto x + 1$ $x \mapsto x + 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/c/d4c46709a82b27d8e138fc228db13fbf82.png)
неподвижных точек нет, у
![$x \mapsto 2x$ $x \mapsto 2x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/e/71e6cc373ba52967773c1d7412fdc98e82.png)
и
![$x \mapsto \frac{x}{x + 1}$ $x \mapsto \frac{x}{x + 1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/7/517fcc6766a90fd64b7dae70d28a442d82.png)
она одна, у
![$x \mapsto \frac 1 x$ $x \mapsto \frac 1 x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/c/12c6842e23d5e8af63b3bf80fb8b884b82.png)
их две.
-- 28.12.2023, 14:03 --Вообще по-хорошему надо работать в проективном пространстве
![$\mathbb P^n_{\mathbb R}$ $\mathbb P^n_{\mathbb R}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/9294146cc859f9cd1a0d3f26071ec72982.png)
, а не в аффинном. Там соответствующие проективные преобразования имеют вид
![$[X_0 : \ldots : X_n] \mapsto [F_0(X_0, \ldots, X_n) : \ldots : F_n(X_0, \ldots, X_n)]$ $[X_0 : \ldots : X_n] \mapsto [F_0(X_0, \ldots, X_n) : \ldots : F_n(X_0, \ldots, X_n)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/8/988350e1fe4e17ebc415705b9dbada1382.png)
в однородных координатах, где
![$F_k$ $F_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/7/a178eaacca2a06509317f53ac22ba70a82.png)
- однородные многочлены первой степени (и
![$f_k(x_1, \ldots, x_n) = F_k(1, x_1, \ldots, x_n)$ $f_k(x_1, \ldots, x_n) = F_k(1, x_1, \ldots, x_n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/a/6ca7797b14555d1d48029294661dbea882.png)
). Тогда изучение неподвижных точек сводится к линейной алгебре. А в аффинном случае надо дополнительно выкидывать неподвижные точки, попавшие на бесконечность.