Бикруг и тор

[DieselMachine]

Изучаю комплексный анализ по Шабату и пытаюсь понять как выглядит бикруг: $U = \{z \in \mathbb{C}^2: |z_1| < 1, |z_2| < 1\}$. В частности, хочу понять как выглядит его остов: $\Gamma = \{|z_1| = 1, |z_2| = 1\}$. Шабат говорит, что это тор и рисует обычный тор с дыркой. Но какой же это тор, если две образующие окружности имеют одинаковый радиус, а значит дырка в торе должна выродиться в точку, и эта точка принадлежит самому тору, то есть дополнительно что-то склеилось в одну точку, что не должно было склеиваться. В связи с этим два вопроса:
1. Остов бикруга это тор или не тор?
2. Во всех книгах что я видел пишут, что декартово произведение двух окружностей - это тор. А если окружности одинакового радиуса, то что тогда? И вообще, я представляю что эти две окружности должны быть равноправны, но в торе они неравноправны - я могу нарезать тор на первые окружности вдоль второй, но не могу нарезать на вторые вдоль первой. Как это понимать?

[Mikhail_K]

DieselMachine
На торе параллели и меридианы равноправны с топологической точки зрения. Грубо говоря, если Вы живёте на торе и не имеете метрических инструментов (не можете измерять длины, углы и т.д.), то Вы не сможете отличить параллель от меридиана. Более точно, существует гомеоморфизм тора на себя, переводящий параллель в меридиан.

Шабат говорит, конечно, про тор в топологическом смысле. У такого тора нет смысла говорить про "радиусы образующих окружностей" и вообще про какие бы то ни было длины. Точно так же Шабат мог назвать поверхность куба сферой, но затруднился бы с ответом, какой у этой сферы "радиус". С топологической точки зрения поверхность куба и сфера - это одно и то же (более точно, они гомеоморфны друг другу).

А вообще, остов бикруга - это объект в четырёхмерном пространстве, Вы просто так не представите, как он выглядит.

Обратите внимание ещё, что тор - это не тело, а поверхность. Тело, ограниченное тором в трёхмерном пространстве, называется полноторием, так же как сфера - поверхность шара. Сфера - поверхность, шар - тело. Тор - поверхность, полноторие - тело. Тор можно порезать (разбить) как на параллели, так и на меридианы.

[DieselMachine]

А точно ли он говорит про тор в топологическом смысле? Скопирую сюда кусок текста:
"Остов бикруга $\Gamma$ двумерен. Это - тор $\Gamma = \{|z_1| = 1, |z_2| = 1\};$ в самом деле, отображение $z_1 = e^{i\theta_1},$ $z_2 = e^{i\theta_2}$ гомеоморфно преобразует на $\Gamma$ квадрат $\{0 \le \theta_1 \le 2\pi, 0 \le \theta_2 \le 2\pi\}$ с отождествлёнными как указано на рисунке противоположными сторонами (ибо $e^{i(\theta_v + 2\pi) = e^{i\theta_v}}$), а такое отождествление даёт тор."
Тут точно нет ошибок? Я вот что-то сомневаюсь что такое отождествление даёт тор. Заменить константу $2\pi$ на что-то ещё и перейти от квадрата к прямоугольнику тут нельзя.

[Mikhail_K]

DieselMachine в сообщении #1624090 писал(а):

Тут точно нет ошибок?

Ошибок нет. Квадрат с отождествлёнными противоположными сторонами - это тор. Более того, квадрат топологически не отличается от прямоугольника, поэтому без разницы, какой длины стороны и одинаковые ли они.

Представьте себе тор как Вы его представляете ("бублик"), проведите на нём всевозможные параллели и меридианы. Получится координатная сетка. Теперь сделайте такую же сетку на квадрате с отождествлёнными противоположными сторонами, проведя в нём всевозможные горизонтали и вертикали. Для наглядности Вы можете представить себе, например, что проведено 10 параллелей и 10 меридианов на торе, а также 10 горизонталей и 10 вертикалей на квадрате. Теперь соотнесите узлам первой сетки узлы второй сетки. Получится взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение между тором и квадратом с отождествлёнными сторонами (гомеоморфизм). Конечно, это соответствие не сохраняет длины, но этого и не требуется. Размеры тора и квадрата здесь совершенно ни при чём.

Это, конечно, "на пальцах" объяснение. А по-хорошему, Вам нужно взять любой учебник по топологии и прочитать в нём тему про факторпространства. Пример с тором обычно даётся одним из первых в любом учебнике.
Например:
Борисович и др. Введение в топологию
Виро и др. Элементарная топология

[Утундрий]

DieselMachine в сообщении #1624085 писал(а):

это тор или не тор?

Это тор, просто непривычно вложенный. Не в трёхмерие, а в четырёхмерие.

Кстати, он при этом ещё и плоский получается.

[DieselMachine]

Посмотрел учебник Виро - действительно он склеивает квадрат и получает тор.
Давайте тогда с другой стороны зайдём. В торе есть дырка и я могу построить прямую, которая проходит через эту дырку. Если остов бикруга это тор, то должна быть прямая или кривая, которая проходит через его дырку. Можете привести её уравнение?

[Leeb]

У вас есть какие-то сомнения, что подмножество $\mathbb{C}^2$, заданное условием $\{(z_1,z_2)\colon |z_1| = 1, |z_2| = 1 \}$ гомеоморфно тору? Каким определением тора вы пользуетесь? Есть два основных - как прямое произведение двух окружностей и как факторпространство квадрата $I^2/[(x,0)\sim (x,1),(0,y)\sim (1,y)]$. Можете сами доказать их эквивалентность или прочитать в книжке Виро, которую уже упоминали.
Также нужно понимать, что есть абстрактно заданное топологическое пространство тор и "тор-бублик" в $\mathbb{R}^3$. Это разные вещи, "бублик" является лишь образом вложения тора в трехмерное евклидово пространство. Таких вложений очень много, даже гладких вложений столько же сколько гладких узлов. К конкретному тору, вложенному в $C^2$ путем указанного условия это вложение по сути не имеет отношения.

[Mikhail_K]

DieselMachine в сообщении #1624103 писал(а):

В торе есть дырка и я могу построить прямую, которая проходит через эту дырку.

На торе нет никакой дырки. На торе есть только те точки, которые на нём лежат, и ничего больше.
Тор можно рассматривать сам по себе, безо всякого окружающего его пространства.
Если же Вы говорите про дырку и про прямую, которая проходит через неё, то Вы рассматриваете не просто тор, а вложение тора в трёхмерное пространство.
Ну вот, а Шабат говорит про совсем другое вложение тора - в четырёхмерное пространство.

[DieselMachine]

Всё, дошло до меня, что это плоский тор, вложенный в четырёхмерное пространство. Ключевое слово плоский - с нулевой гауссовой кривизной. Рисунок Шабата с обычным тором сбил меня с толку.

[Geen]

DieselMachine в сообщении #1624117 писал(а):

Рисунок Шабата с обычным тором сбил меня с толку

А как ещё изобразить тор?

[пианист]

Я бы еще добавил для полноты картины, что так заданный тор лежит на сфере $S^3$, заданной обычным образом (сумма квадратов координат константа), делит эту сферу на две половинки, причем каждая из половинок сферы это полноторие.