Oбoбщeннoe peшeние cиcтeмы ypавнeний.

[oleg2099]

Здравствуйте. Oбoбщeннoe peшeние cиcтeмы ypавнeний. Что это такое, сможете подсказать, пожалуйста?

$$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + 3y = 6 \\ 3x = 3 \end{cases}$$

У меня получается $x=1$, но при этом $y=-\dfrac{1}{3}$ из первого уравнения и $y=1$ из второго уравнения. В моем представлении система уравнений не имеет решения. Но, по всей видимости есть какие-то oбoбщeнныe решения, о которых я ничего не знаю. К сожалению, в этом гугл не помог.

[oleg2099]

Забыл в явном виде формулировку записать. Найти обoбщeннoe peшeние cиcтeмы ypавнeний:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + 3y = 6 \\ 3x = 3 \end{cases}$$

[Sdy]

oleg2099,
Вы бы написали ещё, откуда задача появилась. Я почему-то сразу подумал о фундаментальной системе решений, система то линейная, но здесь действительно множество решений пусто, смысла говорить о ФСР нет.

[zykov]

oleg2099 в сообщении #1623894 писал(а):

К сожалению, в этом гугл не помог.

Обобщенное решение системы линейных алгебраических уравнений

[oleg2099]

zykov в сообщении #1623932 писал(а):

Обобщенное решение системы линейных алгебраических уравнений

Спасибо большое. Я что-то не нашел этого почему-то.

$$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + 3y = 6 \\ 3x = 3 \end{cases}$$

То есть нужно сложить первые два уравнения и оставить третье.

$$\begin{cases} 5x + 6y = 7 \\ 3x = 3 \end{cases}$$

Тогда получаем $x=1$ и $y=\frac{1}{3}$. Но это выглядит как танцы с бубнами, ну да ладно=)) А правильно ли?

-- 26.12.2023, 19:49 --

Sdy в сообщении #1623931 писал(а):

Вы бы написали ещё, откуда задача появилась. Я почему-то сразу подумал о фундаментальной системе решений, система то линейная, но здесь действительно множество решений пусто, смысла говорить о ФСР нет.

В курсе линейной алгебры появилась. Но я видно что-то упустил на лекциях.

[Утундрий]

oleg2099 в сообщении #1623937 писал(а):

я видно что-то упустил на лекциях.

Как минимум, определение "обобщённого решения".

[oleg2099]

Утундрий в сообщении #1623963 писал(а):

Как минимум, определение "обобщённого решения".

Да, но я отыскал - что это. Это связано с метoдoм нaимeньшиx квaдpaтoв.

Если система линейных уравнений $Ax=b$ (где матрица $A\;\;$ имеет размеры ${m\times n}$) нecoвмecтнa, то ее oбoбщeнным peшениeм называется такой вектор $x'$, при котором минимизиpyeтcя квадрат paccтояния от вектора $b$ до линейной оболочки векторов $A_1,A_2,...,A_n$.

Только мне это не упростило задачу. Осталось выяснить - что за векторы $A_1,A_2,...,A_n$ в данной ситуации. Вот что уже не очень ясно.

[oleg2099]

Ладно, я не стал запариваться и просто обычным методом наименьших квадратов решил без линейных оболочке Только это на матанализ вроде бы больше похоже, ну да ладно

[zykov]

oleg2099 в сообщении #1623894 писал(а):

Oбoбщeннoe peшeние cиcтeмы ypавнeний

Странный какой-то термин (оно же не решение).
Обычно это по другому рассматривают (Метод наименьших квадратов).

[svv]

oleg2099 в сообщении #1623978 писал(а):

Если система линейных уравнений $Ax=b$ (где матрица $A\;\;$ имеет размеры ${m\times n}$) нecoвмecтнa, то ее oбoбщeнным peшениeм называется такой вектор $x'$, при котором минимизиpyeтcя квадрат paccтояния от вектора $b$ до линейной оболочки векторов $A_1,A_2,...,A_n$.

Только мне это не упростило задачу. Осталось выяснить - что за векторы $A_1,A_2,...,A_n$ в данной ситуации. Вот что уже не очень ясно.

$A_1,...,A_n$ — это $1$-й, ..., $n$-й столбцы матрицы $A$. Они являются векторами из пространства столбцов матрицы $A$. С их помощью систему $Ax=b$ можно записать так:
$A_1x_1+A_2x_2+...+A_nx_n=b$
В этой интерпретации решить систему — значит, найти коэффициенты $x_1,...x_n$ в линейной комбинации векторов-столбцов $A_1,...A_n$, дающей вектор $b$. Равенство возможно (и, соответственно, система разрешима), если вектор $b$ лежит в линейной оболочке векторов-столбцов $A_1,...A_n$.

Если $b$ не лежит в линейной оболочке $A_1,...A_n$, решения не существует. Но можно найти вектор $x$, минимизирующий длину $|Ax-b|$. Он всегда существует (но не всегда единственен) и называется обобщённым решением системы.

А вот вектор $x$, имеющий минимальную длину $|x|$ среди всех векторов, минимизирующих $|Ax-b|$, существует и единственен для любой системы $Ax=b$. Он называется обобщённым нормальным решением системы. См. книгу
Годунов, Антонов, Кирилюк, Костин. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Стр. 71-72.

[Tosha]

svv в сообщении #1624000 писал(а):

Но можно найти вектор $x$, минимизирующий длину $|Ax-b|$. Он всегда существует (но не всегда единственен) и называется обобщённым решением системы.

Но это же получаается просто приближенное решение, почему интересно его назвали обобщенным?

[Mikhail_K]

Tosha в сообщении #1624240 писал(а):

Но это же получаается просто приближенное решение

Почему - приближённое? Если решение существует, то это как раз точное решение. А вот если решения не существует, то такое обобщённое решение всё равно может существовать.
Также иногда употребляются термины "квазирешение" и "псевдорешение".

[Tosha]

Mikhail_K в сообщении #1624242 писал(а):

Почему - приближённое?

Потому как $|Ax-b|\ne 0$, а $|Ax-b|=\varepsilon$, где $\varepsilon$ приближенно ноль (насколько это возможно, то есть минимально возможное положительное число).

Mikhail_K в сообщении #1624242 писал(а):

Также иногда употребляются термины "квазирешение" и "псевдорешение".

Такие термины как раз были бы понятнее в этом контексте

[Mikhail_K]

Tosha
Под "приближённым решением" обычно понимают что-то такое, что находится близко к точному решению. Здесь не тот случай.
"Обобщённое решение" же - это что-то, что совпадает с обычным решением, когда есть обычное, но существует также и тогда, когда обычного решения нет.