Пpивecти мaтpицу к кaнoничeскoмy виду

[oleg2099]

Здравствуйте. Сможете помочь разобраться с заданием, пожалуйста? Почему-то с ответом не сходится. Правильно ли я делаю шаги?

Пpивecти мaтpицу к кaнoничeскoмy виду мeтoдoм Лaгpaнжa и указать преобразование, которое позволило это сделать.

$$\begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \\ \end{bmatrix}$$

Квадратичная форма, соответствующая матрице:

$$f(x,y,z)=3x^2-2y^2-z^2+2xy-4xz+8yz$$

$$3x^2-2y^2-z^2+2xy-4xz+8yz=-z^2+2xy-4xz+8yz+3x^2-2y^2=-(z^2+4xz-8yz)+2xy+3x^2-2y^2=$$

$$=-(z^2+2z(2x-4y)+(2x-4y)^2-(2x-4y)^2)+2xy+3x^2-2y^2=-(z+2x-4y)^2+(2x-4y)^2+2xy+3x^2-2y^2=$$

$$=-(z+2x-4y)^2+7x^2-14xy+14y^2=-(z+2x-4y)^2+7(x^2-2xy+y^2-y^2)+14y^2=$$

$$=-(z+2x-4y)^2+7(x^2-2xy+y^2-y^2)+14y^2=-(z+2x-4y)^2+7(x-y)^2+7y^2$$

Преобразование будет такое:

$x_1=2x - 4y + z$, $x_2=x-y$, $x_3=y$

Тогда получается матрица:

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 7& 0 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end{bmatrix}$$

Мне почему-то кажется, что неверно, так как с ответом не сходится.

[oleg2099]

Уточню на всякий случай. Я знаю, что если собственные числа расставить на диагонали, то как раз будет диагональная матрица. А тот самый ответ, который я знаю, он был получен с помощью wolframalpha для проверки (нет ли глюков в арифметике) Вот здесь ссылка, где вольфрам отыскал все что нужно. https://www.wolframalpha.com/input?i=ei ... C+-1%7D%7D
Теперь закралось сомнение, может быть ответы и не должны совпадать? Просто ошибку в арифметике я не нашел, 3 раза перерешал. Может быть я что-то не так методом Лaгpaнжa делаю? Или ответы не должны совпадать?

oleg2099 в сообщении #1623891 писал(а):

$x_1=2x - 4y + z$, $x_2=x-y$, $x_3=y$

Понятно, что $P=\begin{bmatrix} 2 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

И матрица квадратичной формы должна получится как $P^TAP$.

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & 1 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 2 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & -28 & 7 \\ -28 & 63 & -15 \\ 7 & -15 & 3 \\ \end{bmatrix}\ne \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 7& 0 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end{bmatrix}$$

Проверено wolframalpha:

[lel0lel]

oleg2099 в сообщении #1623938 писал(а):

Понятно, что $P=\begin{bmatrix} 2 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
И матрица квадратичной формы должна получится как $P^TAP$.

Неправильно записан закон преобразования матрицы, должно быть так
$(P^{-1})^TAP^{-1}.$
Подозреваю, чтобы ответ совпал с учебником, нужно было работать с выделением квадратов в такой последовательности: $x,y,z$.

[oleg2099]

lel0lel в сообщении #1623958 писал(а):

Неправильно записан закон преобразования матрицы, должно быть так
$(P^{-1})^TAP^{-1}.$
Подозреваю, чтобы ответ совпал с учебником, нужно было работать с выделением квадратов в такой последовательности: $x,y,z$.

Спасибо большое. Жаль, что все равно получается неверно, даже с учетом исправления формулы (при проверке не выйдет диагональная матрица). С учетом того, что это могли быть ошибки с арифметикой у меня, я в оффтопе приложу доказательства с помощью wolframalpha.

(Оффтоп)

Находим матрицу, обратную матрице $P$

Ссылка на wolfram https://www.wolframalpha.com/input?i=inverse+%7B%7B2%2C+-4%2C+1%7D%2C+%7B1%2C+-1%2C+0%7D%2C+%7B0%2C+1%2C+0%7D%7D
Далее считаем произведение

Ссылка на wolfram https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B0%2C+0%2C+1%7D%2C+%7B1%2C+0%2C+-2%7D%2C+%7B1%2C+1%2C+2%7D%7D*+%7B%7B3%2C+1%2C+-2%7D%2C+%7B1%2C+-2%2C+4%7D%2C+%7B-2%2C+4%2C+1%7D%7D+*+%7B%7B0%2C+1%2C+1%7D%2C+%7B0%2C+0%2C+1%7D%2C+%7B1%2C+-2%2C+2%7D%7D
Но эта матрица не является диагональной. Значит что-то сделали не так.

-- 26.12.2023, 22:20 --

Исправил*

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28transpose+inverse+%7B%7B2%2C1%2C0%7D%2C+%7B-4%2C-1%2C1%7D%2C+%7B1%2C+0%2C+0%7D%7D%29+*+%7B%7B3%2C+1%2C+-2%7D%2C+%7B1%2C+-2%2C+4%7D%2C+%7B-2%2C+4%2C+1%7D%7D+*+inverse+%7B%7B2%2C+-4%2C+1%7D%2C+%7B1%2C+-1%2C+0%7D%2C+%7B0%2C+1%2C+0%7D%7D

[lel0lel]

oleg2099 в сообщении #1623964 писал(а):

Исправил*

В третьей строке матрицы исходной квадратичной формы должна быть минус единица.

[oleg2099]

lel0lel в сообщении #1623968 писал(а):

В третьей строке матрицы исходной квадратичной формы должна быть минус единица.

Спасибо. Исправился. Но что-то все равно не так.

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28transpose+inverse+%7B%7B2%2C+-4%2C+1%7D%2C+%7B1%2C+-1%2C+0%7D%2C+%7B0%2C+1%2C+0%7D%7D%29+*+%7B%7B3%2C+1%2C+-2%7D%2C+%7B1%2C+-2%2C+4%7D%2C+%7B-2%2C+4%2C+-1%7D%7D+*+inverse+%7B%7B2%2C+-4%2C+1%7D%2C+%7B1%2C+-1%2C+0%7D%2C+%7B0%2C+1%2C+0%7D%7D

[lel0lel]

Вы уверены, что Вольфрам звёздочку воспринимает как матричное умножение (в пакете это точка), вдруг он умножает покомпонентно элементы матриц? Лучше проделайте руками.

oleg2099 в сообщении #1623938 писал(а):

А тот самый ответ, который я знаю, он был получен с помощью wolframalpha

Сначала я подумал, что у вас не сошёлся ответ с учебником, а выходит, что вы хотите, чтобы метод Лагранжа выдал матрицу с собственными значениями на диагонали, причём собственные значения не целые. Зачем себе усложнять жизнь, канонические формы могут быть различные.

[oleg2099]

lel0lel в сообщении #1623973 писал(а):

Вы уверены, что Вольфрам звёздочку воспринимает как матричное умножение (в пакете это точка), вдруг он умножает покомпонентно элементы матриц? Лучше проделайте руками.

Я проверил с помощью другого приложения, там такой же результат умножения трех матриц вышел, как и у wolfram. Есть и другой вариант обозначения умножения между матрицами у wolfram, там можно поставить просто $.$ между матрицами, результат не меняется. Что-то видимо идейно происходит не так. Или я изначально где-то затупил.

[lel0lel]

Идейно всё так, просто это искусственный интеллект начал сбивать людей с толку, чтобы мы отучились что-либо делать руками и перестали доверять своим результатам. Но попробуйте напоследок вот такой код

Transpose[Inverse[{{2, -4, 1}, {1, -1, 0}, {0, 1, 0}}]].{{3, 1, -2}, {1, -2,  4}, {-2, 4, -1}}.Inverse[{{2, -4, 1}, {1, -1, 0}, {0, 1, 0}}]

Только не убирайте точки, они помогут сбить с толку ИИ, и он перестанет дурить.

[oleg2099]

Я понял, почему с другим приложением у меня тоже не вышло. Я просто опять $a_{33}=1$ написал вместо $-1$. А после исправления как раз все получилось. Но почему wolfram неправильно считал - не очень понимаю. Вроде бы код максимально похож.

Transpose[Inverse[{{2, -4, 1}, {1, -1, 0}, {0, 1, 0}}]].{{3, 1, -2}, {1, -2,  4}, {-2, 4, -1}}.Inverse[{{2, -4, 1}, {1, -1, 0}, {0, 1, 0}}]

и

(transpose inverse {{2, -4, 1}, {1, -1, 0}, {0, 1, 0}}) * {{3, 1, -2}, {1, -2, 4}, {-2, 4, -1}} * inverse {{2, -4, 1}, {1, -1, 0}, {0, 1, 0}}

По всей видимости, вручную выделил квадраты правильно. Спасибо большое, что помогли разобраться.

lel0lel в сообщении #1623980 писал(а):

мы отучились что-либо делать руками и перестали доверять своим результатам. Но попробуйте напоследок вот такой код

Просто я очень невнимателен при рутинных вычислениях. Потому себе не доверяю. У меня вечно ошибки вида $2\cdot 5 =200$

[lel0lel]

oleg2099 в сообщении #1623982 писал(а):

Но почему wolfram неправильно считал - не очень понимаю.

Звёздочка в Вольфраме это покомпонентное умножение элементов. Можете проверить это на таком примере

{{a,b},{c,d}}*{{e,f},{g,h}}

[oleg2099]

Понял, спасибо большое за помощь!