Вероятность нахождения предмета в ящике стола

[Geen]

(Оффтоп)

Остапа несло

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608768 писал(а):

т.е. на промежутке неприхода автобуса вероятности обнуляем, а остальные пропорционально увеличиваем, чтобы в сумме была единица

Нет, это слишком просто. Я ведь не уверен, что моя оценка распределения верна. Скажем, я приписал автобусу равномерное распределение времени прихода в диапазоне времени $A...B$. По вашему, если за минуту до $B$ его нет, то в следующую минуту он приедет с вероятностью $1$. На самом деле по мере приближения к $B$ я просто начну думать, что ошибся в оценке распределения и правую границу этого распределения нужно отодвинуть дальше в право. Если согласно моей оценке распределения мы получаем событие, которое имеет малую вероятность, то вероятно, моя оценка распределения не верна.

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608775 писал(а):

На самом деле по мере приближения к $B$ я просто начну думать, что ошибся в оценке распределения и правую границу этого распределения нужно отодвинуть дальше в право.

Вам тогда надо задать вероятностный ансамбль различных вероятностных распределений, вот там действительно нет монотонности

[sergey zhukov]

В книжке Игоря Ушакова "Этот случайный, случайный, случайный мир" так рассказано про парадокс мальчика и девочки:

Цитата:

К вам в гости пришла незнакомая вам пара с мальчиком. Во время знакомства, вы спрашиваете, сколько у них всего детей, и новые гости отвечают вам, что всего у них двое детей.
- А второй ребенок – мальчик или девочка?
- А вы угадайте!
- Ну, а что гадать? Фифти-фифти!
- Нет, вы ошибаетесь!
Вы недоуменно пожимаете плечами: какая может быть ошибка? Ведь в мире почти точно половина людей мужского пола, а половина – женского, и это правильно для любых возрастов. Но тут ваш гость объясняет вам «на пальцах», почему вы неправы. Действительно, девочек и мальчиков в мире практически поровну. Первый ребенок может быть либо девочкой, либо мальчиком с равной вероятностью. Так же и с появлением второго ребенка. Это означает, что всего возможны четыре равновероятных исхода.

Однако вы уже знаете, что один из детей пришедших к вам гостей – мальчик. Следовательно, у них не может быть двух девочек! А это меняет ситуацию. Теперь есть только три возможности: у ваших гостей могут быть либо два мальчика, либо мальчик и девочка, причем во втором случает сестра мальчика, которого вы уже знаете. Вот и получается, что вероятность того, что второй ребенок в этой семье будет мальчик, равна уже не 50%, а 66%! (Точнее, 66 и 2/3 процента).

Вот если бы ваши новые гости сказали, что у нас два ребенка, но младшего мы оставили с бабушкой, то тогда вы были бы правы, сказав, что шансов за то, что второй ребенок – мальчик ровнехонько 50 из 100.

По моему, ответ $\frac{2}{3}$ неправильный. Правильно $\frac{1}{2}$. Полный набор равновероятных случаев, который приводит к ситуации "Я встретил семью с мальчиком" такой (у них в семье мальчик - 1, девочка - 0, вычеркнуты случаи, которые я не встречаю):

0,0 взяли с собой первого
0,0 взяли с собой второго
0,1 взяли с собой первого
0,1 взяли с собой второго
1,0 взяли с собой первого
1,0 взяли с собой второго
1,1 взяли с собой первого
1,1 взяли с собой второго

[Doctor Boom]

У меня так же

[мат-ламер]

Ушаков в сообщении #1623596 писал(а):

Однако вы уже знаете, что один из детей пришедших к вам гостей – мальчик

Ушаков в сообщении #1623596 писал(а):

Вот и получается, что вероятность того, что второй ребенок в этой семье будет мальчик, равна уже не 50%, а 66%!

sergey zhukov в сообщении #1623596 писал(а):

По моему, ответ $\frac{2}{3}$ неправильный. Правильно $\frac{1}{2}$.

Doctor Boom в сообщении #1623602 писал(а):

У меня так же

А у меня вообще 33%

[Евгений Машеров]

Байес.
Априорные вероятности гипотез по 1/2 (что предмет есть в столе и что его нет). Условные (при условии, что открыли первый, а там ничего) вероятности найти предмет во втором, неоткрытом ящике 1, если верна первая гипотеза и 0, если верна вторая.
В данном случае интуитивное рассуждение даёт правильный ответ, просто в более сложном случае с ним легче запутаться.

[Amw]

мат-ламер в сообщении #1623607 писал(а):

А у меня вообще 33%

50%. Если УЖЕ выпало даже 9 орлов, то вероятность выпадения 10-го орла всё равно 50%.
Это из неправильной "оперы", что снаряд в воронку не попадает.

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1623596 писал(а):

По моему, ответ $\frac{2}{3}$ неправильный. Правильно $\frac{1}{2}$.

В процитированном отрывке неправильная попытка изложить известный "парадокс мальчика и девочки".
Действительно, с точки зрения родителей - вероятность того, что второй ребенок - мальчик равна $\frac{1}{2}$.
Но с точки зрения случайно выбранного мальчика из семьи с двумя детьми, у него с вероятностью $\frac{2}{3}$ будет брат, и с вероятностью $\frac{1}{3}$ - сестра.
Просто потому, что в семье с двумя мальчиками у старшего брата есть брат, и у младшего брата есть брат.
А в семье с мальчиком и девочкой - у мальчика есть сестра, а у девочки нет сестры.

[Doctor Boom]

Лукомор в сообщении #1623638 писал(а):

Но с точки зрения случайно выбранного мальчика из семьи с двумя детьми, у него с вероятностью $\frac{2}{3}$ будет брат, и с вероятностью $\frac{1}{3}$ - сестра.

Неа, там тоже 1/2

Лукомор в сообщении #1623638 писал(а):

Просто потому, что в семье с двумя мальчиками у старшего брата есть брат, и у младшего брата есть брат.
А в семье с мальчиком и девочкой - у мальчика есть сестра, а у девочки нет сестры.

Пусть вероятность того, что я родился мальчиком, а не девочкой, равна 1/2 (так гормоны в утробе экспрессировали). Как это может определять вероятность того же самого для моего соутробника?
Да и просто по Байесу вероятности посчитайте, там так же будет как и в задаче выше

[tolstopuz]

sergey zhukov в сообщении #1623596 писал(а):

По моему, ответ $\frac{2}{3}$ неправильный. Правильно $\frac{1}{2}$

Можно чуть-чуть изменить условие, и ответ внезапно станет $1/3$:

У вашего сына день рождения, он дружит только с мальчиками, поэтому вы написали в местной газете объявление о том, что приглашаются мальчики с родителями.

Тогда мы имеем три равновероятных случая:

$0,1$ взяли с собой второго
$1,0$ взяли с собой первого
$1,1$ кинули жребий, кого брать

[Geen]

tolstopuz в сообщении #1623693 писал(а):

Тогда мы имеем три равновероятных случая

Вообще говоря, детей может быть любое натуральное число...

[sergey zhukov]

tolstopuz
Да. В этом случае получается, что на множестве всех мальчиков, которые пришли ко мне на день рождения, брат будет только у каждого третьего. А вот если бы из семей с двумя мальчиками на день рождения ко мне пошли бы оба сразу, то эта вероятность была бы $\frac{2}{3}$.

[Лукомор]

Doctor Boom в сообщении #1623674 писал(а):

Да и просто по Байесу вероятности посчитайте, там так же будет как и в задаче выше

Не стоит без нужды беспокоить прах Преподобного сэра Томаса...
Все гораздо проще, и уже посчитано вот тут:

sergey zhukov в сообщении #1623596 писал(а):

0,0 взяли с собой первого
0,0 взяли с собой второго
0,1 взяли с собой первого
0,1 взяли с собой второго
1,0 взяли с собой первого
1,0 взяли с собой второго
1,1 взяли с собой первого
1,1 взяли с собой второго

Из четырех невычеркнутых случаев, если мы посчитаем аккуратно,
там шесть единичек, и два нулика.
Пришла в гости одна из шести единичек, равновероятно.
У четырех единичек в паре тоже единичка. вероятность $\frac{4}{6}$
У двух единичек в паре нуль.
Вероятность $\frac{2}{6}$

[sergey zhukov]

Лукомор
Ну нет. Невычеркнутые случаи - это три разных семьи, на которых приходится четыре разных мальчика (а не шесть). Поэтому не "Пришла в гости одна из шести единичек", а "одна из четырех единичек".

Я это даже численно проверил. Сгенерировал множество случайных пар нулей и единиц, выкинул оттуда все пары нулей, в каждой оставшейся паре случайно выбрал одну из единиц и проверил, с какой частотой вторая половинка в паре - тоже единица. Это $\frac{1}{2}$.

-- 24.12.2023, 23:36 --

sergey zhukov в сообщении #1623704 писал(а):

А вот если бы из семей с двумя мальчиками на день рождения ко мне пошли бы оба сразу, то эта вероятность была бы $\frac{2}{3}$.

Т.е $\frac{1}{2}$ конечно.