Пространство с 2я временными измерениями

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1622851 писал(а):

Если все константы $c_2$, $c_3$, ... очень маленькие, то любое "движение" относительно $t_2$, $t_3$, ... будет ультра релятивистским

Для этого ещё нужно, что бы в некие динамические уравнения эти времена входили без своих констант.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1622851 писал(а):

Если все константы $c_2$, $c_3$, ... очень маленькие, то любое "движение" относительно $t_2$, $t_3$, ... будет ультра релятивистским, а значит будет требовать ультра релятивистски больших затрат энергии, а значит в низкоэнергетическом пределе развитие во времени $t_2$, $t_3$, ... "заморожено". Собственное время $\tau = \int ds$ всегда одномерно независимо от размерности пространства событий. С учётом вышесказанного, низкоэнергетическому наблюдателю трудно будет заметить существование $t_2$, $t_3$, ...

Для отдельных частиц (типа как в ускорителях) вроде энергии должно быть вполне достаточно, чтобы "остановить" исходное движение по "основной" координатой $t_1$; и движение частицы осталось бы только по $t_2$ (траектория при этом разумеется остается времениподобной, "поворот" происходит в плоскости $(t_1, t_2)$... да и не совсем понятно в каком смысле поворот в этой плоскости вообще должен требовать энергии если при этом не изменяется вклад дифференциала пространственных координат в $ds$).
Как такое будет "выглядеть" в эксперименте, и в какой степени будет в противоречие с наблюдений - это другой (интересный?) вопрос...

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1622870 писал(а):

Для этого ещё нужно, что бы в некие динамические уравнения эти времена входили без своих констант.

Да, действительно

[Geen]

Утундрий в сообщении #1621987 писал(а):

Как будет выглядеть движение шайбы с точки зрения хоккеиста и с точки зрения сидящих вдали зрителей?

Не вычислял. Ответ из "неких рассуждений в уме".
Шайба будет выглядеть неподвижной, но её время замедлится (т.е. она "потяжелеет", "похолоднеет" и т.п.)

[Утундрий]

Geen в сообщении #1623046 писал(а):

Не вычислял. Ответ из "неких рассуждений в уме".
Шайба будет выглядеть неподвижной, но её время замедлится (т.е. она "потяжелеет", "похолоднеет" и т.п.)

Всё гораздо забавней.

[warlock66613]

Сначала шайба вытянется в "колбасу". Мы увидим её сразу везде вдоль её пространственной траектории, А потом она исчезнет ибо останется в прошлом.

[Утундрий]

warlock66613 в сообщении #1623056 писал(а):

Сначала шайба вытянется в "колбасу". Мы увидим её сразу везде вдоль её пространственной траектории,

У меня не так. Вы, похоже, потеряли условие

Утундрий в сообщении #1621987 писал(а):

пространственные координаты шайбы после удара не изменяются

warlock66613 в сообщении #1623056 писал(а):

она исчезнет ибо останется в прошлом.

Исчезнет, но по другой причине. Вообще, понятие "прошлое" для двух временных измерений - такое себе.

А как процесс будет выглядеть для достаточно удалённого наблюдателя?

[SergeyGubanov]

Пусть

$$ ds^2 = dt^2 + d\tau^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2. $$

Пяти-импульс шайбохоккеиста до его распада на шайбу и хоккеиста:

$$ K_{\mu} = ( \mathcal{M}, 0, 0, 0, 0 ). $$

Пяти-импульсы шайбы и хоккеиста после распада шайбохоккеиста:

$$ p_{\mu} = ( m \cos(\alpha), m \sin(\alpha), 0, 0, 0 ), \quad P_{\mu} = ( M \cos(\beta), M \sin(\beta), 0, 0, 0 ). $$

Закон сохранения пяти-импульса:

$$ K_{\mu} = p_{\mu} + P_{\mu}. $$

Значит

$$ m \cos(\alpha) + M \cos(\beta) = \mathcal{M}, \quad m \sin(\alpha) + M \sin(\beta) = 0. $$

Пусть $s$ -- собственное время шайбы, $S$ -- собственное время хоккейста, $t$ -- собственное время удалённых зрителей, тогда их мировые линии:

$$ x^{\mu}(s) = ( s \cos(\alpha), s \sin(\alpha), 0, 0, 0), \quad X^{\mu}(S) = ( S \cos(\beta), S \sin(\beta), 0, 0, 0), \quad \tilde{X}^{\mu}(t) = ( t, 0, L_x, L_y, L_z). $$

Пусть $\alpha \ne \pm \frac{\pi}{2}$ и $\beta \ne \pm \frac{\pi}{2}$, выразим $s$ и $S$ через $t$:

$$ s = \frac{t}{\cos(\alpha)}, \quad S = \frac{t}{\cos(\beta)}. $$

Тогда

$$ x^{\mu}(t) = ( t, t \tg(\alpha), 0, 0, 0), \quad X^{\mu}(t) = ( t , t \tg(\beta), 0, 0, 0), \quad \tilde{X}^{\mu}(t) = ( t, 0, L_x, L_y, L_z). $$

Теперь надо решить задачу о распространении сигналов между ними...

-- 20.12.2023, 10:44 --

Пусть в пятимерной точке $x_{A}^{\mu} = (t_A, \tau_A, x_A, y_A, z_A) $ испустили сигнал, а в пятимерной точке $x_{B}^{\mu} = (t_B, \tau_B, x_B, y_B, z_B)$ этот сигнал приняли, тогда

$$ (t_A - t_B)^2 + (\tau_A - \tau_B)^2 - (x_A - x_B)^2 - (y_A - y_B)^2 - (z_A - z_B)^2 = 0. $$

Обозначим

$$ R^2 = (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (z_A - z_B)^2. $$

Значит

$$ (t_A - t_B)^2 + (\tau_A - \tau_B)^2 = R^2. $$

Отличие от четырёхмерия в том, что сигналы испущенные и принятые в разные моменты $\tau_A \ne \tau_B$ уменьшают разность между моментами $t_A$ и $t_B$ вплоть до нуля:

$$ (t_A - t_B)^2 = R^2 - (\tau_A - \tau_B)^2 $$

О том что шайбохоккейст распадётся на шайбу и хоккеиста удалённые зрители узнали раньше чем увидели само событие распада.

[Утундрий]

Достаточно и трёхмерия (два времени, одно пространство), где световой конус легко вообразить.

[SergeyGubanov]

После того как шайба и хоккеист улетят достаточно далеко по $\tau$

$$ (\tau_A - \tau_B)^2 > R^2, $$

зрители перестанут их видеть вовсе.

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1623088 писал(а):

зрители перестанут их видеть вовсе.

А исчезать они начнут "из середины"?...

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #1623095 писал(а):

А исчезать они начнут "из середины"?...

На сколько я понимаю, сигналы от разных точек многомерного времени приходят с разных временных направлений. То есть поворачивая голову то в одно временное направление, то в другое многовременной наблюдатель видит и шайбохоккеиста и шайбу и хоккеиста одновременно. Ну, смотришь прямо - видишь целого нераспавшегося шайбохоккеиста, а повернёшь голову в другом временном направлении - видишь отдельно шайбу и хоккеиста.

-- 20.12.2023, 12:56 --

(Оффтоп)

Не удержусь от следующей спекуляции . Существует $5$ вещественных гамма матриц Дирака $4 \times 4$ квадраты которых равны $+1, +1, +1, -1, -1$, что соответствует трём пространственным измерениям и двум временным. То есть, алгебраически, структура из Дираковских полей может играть роль того зрителя "поворачивающего голову" во временных направлениях $\gamma_{0} \wedge \gamma_{5}$.

[Утундрий]

По-мому тут не нужно никаких расчётов. Представьте себе световой конус в виде "фонаря", который "светит" вдоль пространственного направления. Тогда должно быть ясно, что повернувшая мировая линия будет постепенно смещаться от центра к краю "светового пятна" и в один момент из оного выйдет. Выглядеть это будет примерно как падение в ЧД, только здесь будет своеобразное падение на месте.

Ещё одно простое упражнение на вывих мозга. Сместите прямую мировую линию на времениподобное расстояние. Покажите/сообразите, что эти две мировые линии друг друга не видят

[eLectric]

Немного помыслил на тему.
Исходя из того, что время это причинная упорядоченность событий.
Все события внутри одного светового конуса причинно упорядочены.
А вот события вне светового конуса ему ортогональны. Тем не менее, эти другие события внутри своего светового конуса причинно упорядочены. Получаем, что две оси времени из непересекающихся световых конусов незвисимы друг от друга.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #1623113 писал(а):

Ещё одно простое упражнение на вывих мозга. Сместите прямую мировую линию на времениподобное расстояние. Покажите/сообразите, что эти две мировые линии друг друга не видят

При $R=0$ и $\tau_A \ne \tau_B$ уравнение $(t_A - t_B)^2 + (\tau_A - \tau_B)^2 = 0$ корней не имеет.

Асимптотическая свобода...