Смешанное уравнение с тангенсом и логарифмом

[Gepidium]

Здраствуйте.
Решаю задания из методички подготовки к универу.
Наткнулась на такое уравнение: $\ln{\left (6x-9x^2\right )}=\operatorname{tg}^2{\left (7x^2+\dfrac{2}{3}x+\pi-1\right )}$

Я понимаю, что слева и справа - функции разной природы, поэтому сразу начала решать численно. Методом fixed-point iteration с вычислением производных ( по-русски метод Ньютона).

Получила значение корня $x\approx \dfrac {1}{3}$

Wolfram сразу дает точное значение $x=\dfrac {1}{3}$

Проверка потверждает, что это на самом деле корень. Но такое точное значение зародило сомнение, что может быть существует и аналитическое решение.
Кроме того, как доказать, что этот корень единственный?
Я не смогла.

[iifat]

Ну, единственность-то доказывается просто: под логарифмом парабола с рогами вниз и максимумом в $\frac13$, каковой максимум равен единице, логарифм которой равен нулю. В других точках под логарифмом будет число, меньшее единицы, слева, стало быть, отрицательное, справа квадрат.

[Евгений Машеров]

Мета-информация. Задача для подготовки к поступлению в университет. Следовательно, никаких знаний сверх школьной программы она не требует. А численные методы в школьную программу не входят. Но именно такие задачи в школе не решали, следовательно, она не на дополнительные знания, а "на смекалку". Можно ожидать, что корней у неё либо ноль (и надо доказать, что их нет), либо один (и находится остроумным приёмом, а не согласно школьной методике).
Тут полезно набросать графики. Если графики левой и правой части не пересекаются, корней нет, если касаются в единственной точке - это корень. Сразу видно, что под логарифмом функция с единственным максимумом. Он достигается в $x=\frac 1 3$ и равен единице, а логарифм ейный нулю. Справа квадрат чего-то, то есть если решение есть, то в этой точке. Подставляем, проверяем - вуаля! (ну, или в этой точке левая часть была бы не равна правой, и докладываем, что корней нет).

[MGM]

Пристально вглядываясь в аргумент $ \tg$, понимаешь, что там должно остаться только $\pi$. Иначе кранты. Дальше дело техники. Проверить
$\ln() =0 $. И совпадает ли решение для обоих аргументов.

[Gepidium]

iifat в сообщении #1622353 писал(а):

единственность-то доказывается просто: под логарифмом парабола с рогами вниз и максимумом в $\frac13$

iifat
Спасибо, но не очень понятно. Ведь рога параболы, направленные вниз, могут ещё раз пересечь тангенсоиду. Как это можно увидеть, не построив график?

Евгений Машеров в сообщении #1622393 писал(а):

Тут полезно набросать графики.

Евгений Машеров
Да, я так и сделала.

Евгений Машеров в сообщении #1622393 писал(а):

Справа квадрат чего-то

И не важно чего?

MGM в сообщении #1622415 писал(а):

И совпадает ли решение для обоих аргументов.

MGM
Это вообще не поняла. Каких аргументов? У меня здесь в обеих функциях слева и справа единственный аргумент $x$.

[Leeb]

Gepidium
Другие участники вам уже все сказали, левая часть всегда не больше нуля и достигает его в единственной точке (т.к. $6x-9x^2 \leqslant 1$, значит, $\log(6x-9x^2)\leqslant 0$), а правая часть - всегда не меньше нуля, значит, если вещественные корни и есть, то только в точке максимума левой части (она же нуль левой части, она же точка $6x-9x^2=1,\ x = 1/3$). Значит нужно лишь проверить значение правой части в точке $x=1/3$, там получается $\tg^2 \pi = 0$. Значит, $x=1/3$ - корень и притом единственный. Общего рецепта решения таких "подогнанных" задач нет, только угадывать корни, а затем путем исследования поведения функций слева и справа на их ОДЗ (максимумы, минимумы, возрастание, убывание, монотонность) надеяться, что других корней нет и доказывать это отсутствие.

[Gagarin1968]

Gepidium
iifat и Евгений Машеров объяснили предельно ясно. Если у Вас и после этого остались непонятки, значит Вы не включили голову на полную. Объясняю по рабоче-крестьянски, то бишь на уровне 9 класса, и без всяких графиков.
При взгляде на исходное уравнение замечаем, что правая часть уравнения неотрицательна. Это означает, что левая часть также неотрицательна. Поскольку слева натуральный логарифм (с основанием больше единицы), то он может принять неотрицательное значение только при $6x-9x^2\geqslant 1$.
Решаем неравенство $9x^2-6x+1\leqslant 0$. Решая его, находим, что оно выполняется в единственной точке $x=\dfrac{1}{3}$
Подставляя это значение в исходное уравнение, видно, что оно удовлетворяет ему. Отсюда следует, что это и есть корень, и он единственный.

Евгений Машеров в сообщении #1622393 писал(а):

Но именно такие задачи в школе не решали, следовательно, она не на дополнительные знания, а "на смекалку".

Евгений Машеров
Абсолютно согласен. Более того, видно, что задача составлена топорно-искусственно. Логарифм вполне мог быть и по основанию, скажем, $277$, а справа вместо тангенса — синус. И ничего бы не поменялось. Очевидно, составителю задачи уж очень хотелось проверить соображало-смекалистость учеников.
P.S. Сдаётся мне, что я уже видел похожее уравнение на нашем форуме, но найти не смог.

[Gepidium]

Leeb, Gagarin1968.
Я просто тормозная. Огромное спасибо за подробное обьяснение.

[Евгений Машеров]

Gepidium в сообщении #1622625 писал(а):

И не важно чего?

В данном случае существенно только то, что квадрат чего бы то ни было неотрицателен (кто сказал "комплексные числа"?! Убью!) Исследовать правую часть сложнее, а левая проще (исследование квадратичных парабол в школьную программу входит, а про логарифм достаточно знать, что это монотонная функция. То есть правая часть может быть равна левой, только если обе равны нулю. Для левой легко находится единственное значение икса, чтобы левая часть обнулилась. Правую можно исследовать, но проще подставить полученный для левой части икс и проверить, получится ли ноль.
Правая часть тут вообще "для запугивания", а надо не бояться, а понимать, что комиссия Вас, может, и хочет завалить, но права завалить, спрашивая отсутствующее в программе, не имеет. А вот проверить, зазубрили ли Вы школьный материал, или же умеете его применять в сколько-нибудь нестандартной ситуации, имеют и право, и обязанность. Вот Вам и подсунули задачу, в которой надо применить заведомо известные факты в ситуации, малость нестандартной.

[MGM]

Gepidium в сообщении #1622625 писал(а):

MGM в сообщении #1622415 писал(а):

И совпадает ли решение для обоих аргументов.

MGM
Это вообще не поняла. Каких аргументов? У меня здесь в обеих функциях слева и справа единственный аргумент $x$.

Аргумент тангенса не совсем $x$. :)
Но не суть. Скажем так, то, что в правой скобке должно принять значение Пи (ну или
Пи помноженное на рациональное число, чего квадратичная форма от $x$ не предполагает ). Иначе аналитического решения быть не может. ИМХО.
Были советы рисовать кривые. Это какая-то экзотика. Учитывая, что для правой скобки, а затем и тангенса - задача так себе, в плане интенсификации интуиции.

PS Впрочем, левая скобка, по тем же причинам разнородности может принимать только три значения: ${ 0, 1, e} $.
$e$ - выкидываем сразу, о вот с нулем хуже - придется смотреть на правую скобку. Поэтому начинать надо с тангенса.