это грубо или так можно?

[Rio]

Здравствуйте)
мне надо исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)ln^{2}(n\sqrt{5}+2)}$ (...ответа нет...)
могу ли я сказать так:
"...поскольку подлогарифмное выраж-е и (2n+1) при $n\to\infty$ имеют один порядок, и все члены ряда положительны, то можно поиспользовать интегральный признак Коши. Т.е. рассмотреть $\int\limits_{n=1}^{\infty}\frac{dx}{xln^{2}(x)}$, увидеть,что он сходится к нулю и сделать вывод, что мой ряд тоже сходится, да причем абсолютно .."

..или так говорить нельзя, потому что это грубо и некорректно по отношению к ряду? )))

если выше я написала глупость, то можно ли сделать так: заменить $ln^{2}(n\sqrt{5}+2)$ на, скажем, n^{\frac{1}{13}}..получить,таким образом, ряд Dирихле(у которого $a>1$)..,сравнить с ним мой, и сказать,что мой ряд тоже сходится. Просто какбе...нам говорили, чтто лучше не заменять логарифмы бесконечности , но в этом случае ведь квадратный логарифм возрастает быстрее,чем n в маленькой дробной степени а мне этого-то и достаточно?

а еще ,наверно, можно разложить по ф.Тейлора, но...мб..это перебор и есть пути легче?

[Brukvalub]

Rio в сообщении #161402 писал(а):

могу ли я сказать так:
"...поскольку подлогарифмное выраж-е и (2n+1) при $n\to\infty$ имеют один порядок, и все члены ряда положительны, то можно поиспользовать интегральный признак Коши. Т.е. рассмотреть $\int\limits_{n=1}^{\infty}\frac{dx}{xln^{2}(x)}$, увидеть,что он сходится к нулю и сделать вывод, что мой ряд тоже сходится, да причем абсолютно .."

Да, так можно сделать, только надо бы поточнее сослаться на один из признаков сравнения.

Rio в сообщении #161402 писал(а):

если выше я написала глупость, то можно ли сделать так: заменить $ln^{2}(n\sqrt{5}+2)$ на, скажем, n^{\frac{1}{13}}..получить,таким образом, ряд Dирихле(у которого $a>1$)..,сравнить с ним мой, и сказать,что мой ряд тоже сходится.

А вот это - неверный шаг, поскольку неверно Ваше утверждение:

Rio в сообщении #161402 писал(а):

в этом случае ведь квадратный логарифм возрастает быстрее,чем n в маленькой дробной степени а мне этого-то и достаточно?

[Rio]

аа..ясно. с признака сравнения мне и надо было начинать. Спасибо)

можно еще один вопрос? в процессе решения примера получилось так, что в ряду,N-й член которого получен перемножением двух функций, одна из них знакопеременна и ограничена, а другая неограниченно монотонно возрастает.... можно ли сказать, что он условно расходится только на основании этого?

если бы мой ряд не содержал бы знакопеременной функции, то я бы сказала, что он расходится(и условно в том числе) из-за невыполнения необходимого признака, но можно ли так говорить, когда он миеет знакопеременную составляющую? =)

[AD]

Rio в сообщении #161914 писал(а):

можно ли сказать, что он условно расходится только на основании этого?

Нет, конечно!! Умножьте $\frac{(-1)^n}{n^3}$ на $n$ ...

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

Rio в сообщении #161914 писал(а):

если бы мой ряд не содержал бы знакопеременной функции, то я бы сказала, что он расходится(и условно в том числе) из-за невыполнения необходимого признака

Ну и это вы тоже зря сказали бы. Тут даже можно в качестве примера в качестве первого ряда тождественный ноль взять.

[ewert]

можно, если знакопеременная составляющая ограничена в т.ч. и снизу (а иначе нельзя, т.к. недостаёт информации).

Необходимое условие сходимости никак не связано со знакопостоянством или знакопеременностью.

[Rio]

спасибо)
простите,что не конкретизировала..
то есть вот ,грубо говоря, такой ряд:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 666^n cosn$ расходится по ээ.. необходимому признаку( речь про условную рас-ть)..?

---- и еще вот момент..
известно,что на бесконечности $\limits^{n}\sqrt{n}=1$ . подружка пишет так: $\limits^{n}\sqrt{n^3}=\limits^{n}\sqrt{n} * \limits^{n}\sqrt{n} * \limits^{n}\sqrt{n}=1*1*1=1$ и у нас смутные подозрения что так нельзя) потому что равенство одному очень приближенно. или все же можно?
----
AD, да..точно.. я забыла уточнить, что первая(знакопеременная) ф-ция зависит от эн только знаком.. Вашу мысль поняла)

[ewert]

Rio писал(а):

. подружка пишет так: $\limits^{n}\sqrt{n^3}=\limits^{n}\sqrt{n} * \limits^{n}\sqrt{n} * \limits^{n}\sqrt{n}=1*1*1=1$ и у нас смутные подозрения что так нельзя) потому что равенство одному очень приближенно. или все же можно?

или всё же можно. Ибо предел произведения есть произведение пределов.

[Профессор Снэйп]

Rio писал(а):

подружка пишет так: $\limits^{n}\sqrt{n^3}=\limits^{n}\sqrt{n} * \limits^{n}\sqrt{n} * \limits^{n}\sqrt{n}=1*1*1=1$

Ваша подружка плохо владеет языком \LaTeX. Как её друг, посоветуйте ей правильный способ написания:

$$ \sqrt[n]{n^3} = \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{n} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $$

$$
\sqrt[n]{n^3} = \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{n} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
$$

Добавлено спустя 5 минут 21 секунду:

Косинусы и логарифмы лучше писать с наклонной чертой: $\cos n$ и $\ln n$ вместо $cos n$ и $ln n$.

$\cos n$, $\ln n$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #162157 писал(а):

Как её друг,

как её подруга

[Rio]

Добрый день! простите, еще вопрос
он не по числовым рядам,а по функциональным, но напишу в этой теме, чтоб не создавать лишних новых)

в задании сказано найти область сходимости ф-ого ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt{x+3n} -\sqrt{3n})$..
нуу.. тут никакой из признаков Коши и Даламбера не подходит, это раз. или я как-то криво их применяю о.0
если рассмотреть как 2 ряда, то вычитаемый ряд разойдётся. значит, тоже не поможет.
если домножить и разделить на это же выражение, то получится ужас))
если подумать,то можно представить выражение для энного члена ряда ввиде экспоненты, у которой степень $\ln (\sqrt{x+3n} -\sqrt{3n})$,написать$\ln (\sqrt{x+3n} -\sqrt{3n})<0$, и тогда получится б.у. геометрическая прогрессия. Решая это относительно х, получаю $x<1+2\sqrt{3n}$. То есть сравнение с бесконечностью! Решено,видимо, не верно. Что еще с ним сделать?
//я понимаю,что вопрос детский, но раньше Коши и Даламбер помогали, а тут ..=(
//ээ.. теперь зато вроде все нормально сделала с Латехом=)

[Brukvalub]

При ненулевом х имеем:$\sqrt {x + 3n} - \sqrt {3n} = \frac{x}{{\sqrt {x + 3n} + \sqrt {3n} }} \sim \frac{x}{{2\sqrt {3n} }}$
Делайте выводы.

[Rio]

ааа..вот это я табуретка^_^ спасибо,Brukvalub=)