А когда известно, что циклов длины два нет, есть решение без вычислений вообще (компиляция того, что уже было сказано, на самом деле). Прошу тех, кто тоже решил задачу, оценить это решение — может, я что-то перемудрил и всё проще?
Я рекомендую ТСу не заглядывать под оффтоп.
(Решение)
Желательно в процессе чтения рисовать графики (

и

при выбранных значениях

).
Случай
![$a \in \left(1; 2\right]$ $a \in \left(1; 2\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/3/8c33f4e0929b9201b0f3948e02bfad2e82.png)
.
После первого же применения

оказываемся в промежутке
![$\left(0; \frac{a}{4}\right] \subset \left(0; \frac{1}{2}\right]$ $\left(0; \frac{a}{4}\right] \subset \left(0; \frac{1}{2}\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/2/0622e8045d2c3ed52d2da6486b16187c82.png)
. При

будет

, а при

будет

, в любом случае последовательность монотонна.
Случай
![$a \in \left(2;3\right]$ $a \in \left(2;3\right]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/2/5e2fa3debc0c1106d90680d53710827882.png)
.
У

нули только при

, так что на интервале

либо

, либо

. Для

близких к нулю очевидно

, так что и вообще на интервале

.
Рассмотрим теперь интервал

. Он выделяется тем, что на нём

, и значит,

. А значит, на нём

и из-за монотонности итерации

на нём сходятся к

.
Остаётся понять, почему итерации

приведут либо в этот интервал, либо сразу в

. Но при

либо

попадает сразу в

, либо попадает в
![$\left(0; \frac{1}{a}\right]$ $\left(0; \frac{1}{a}\right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/9/39955afd7e206848d9c11f24e15f6c2a82.png)
. А на промежутке
![$\left(0; \frac{1}{a}\right]$ $\left(0; \frac{1}{a}\right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/9/39955afd7e206848d9c11f24e15f6c2a82.png)
выполняется

, так что итерации

приведут с него на промежуток
![$\left(\frac{1}{a}; 1 - \frac{1}{a}\right]$ $\left(\frac{1}{a}; 1 - \frac{1}{a}\right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/b/7db1ef898cd80b2b8c8e530234d7e5dd82.png)
, всё.