2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение10.12.2023, 15:02 
Заслуженный участник


13/12/05
4621
мат-ламер в сообщении #1621739 писал(а):
Если мы возьмём начальную точку в этом интервале, то мы сразу из него выходим и больше в него не возвращаемся.

Почему не возвращаемся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение10.12.2023, 15:07 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Padawan в сообщении #1621747 писал(а):
Почему не возвращаемся?

$f(x)\le\frac{a}{4}\le\frac{3}{4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение10.12.2023, 15:10 
Заслуженный участник


13/12/05
4621
Ясно. Тогда все ок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение10.12.2023, 21:59 


13/01/23
307
realeugene в сообщении #1621698 писал(а):
То, что что нет циклов длины 2, не являющихся циклами длины 1, доказывается несложно.
А как, если не слишком много считать? У меня по модулю этого утверждения есть решение, которое вычислительно совсем несложное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение10.12.2023, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7136
KhAl в сообщении #1621824 писал(а):
А как, если не слишком много считать?

Можно на компьютере построить графики функций $y=x$ и $y=f^2(x)$ . Эти графики пересекутся ровно в одной точке - неподвижной точке отображения $f(x)$ . Нюансы возникают при $3<a<4$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение10.12.2023, 22:41 


27/08/16
10464
KhAl в сообщении #1621824 писал(а):
А как, если не слишком много считать?

Заставить посчитать корни Максиму, увидеть, что два корня совпадают с предельными точками, а ещё два комплексные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение10.12.2023, 22:42 


13/01/23
307
мат-ламер, спасибо! Может, приятнее на бумажке строить графики функций $y = f(x)$ и $x = f(y)$, и смотреть, где они пересекаются, тогда есть шанс устранить лишние вычисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение10.12.2023, 22:54 


27/08/16
10464
По идее когда два дополнительных корня станут действительными и отличными от предельных точек, появится цикл длиной 2 между этими корнями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение10.12.2023, 22:55 


13/01/23
307
Что-то вроде
$$\left\{\begin{aligned}
   x &= ay(1-y) \\
   y &= ax(1-x) \\
   x &\neq y
\end{aligned}\right.$$
Перемножая первые два равенства, получим $(1-x)(1-y) = \frac{1}{a^2}$, а вычитая получим $(1-x) + (1-y) = 1 - \frac{1}{a}$. Дискриминант этой системы равен $\left(1 - \frac{1}{a}\right)^2 - \frac{4}{a^2} = 1 - \frac{2}{a} - \frac{3}{a^2} = \left(1-\frac{3}{a}\right)\left(1+\frac{1}{a}\right) \leqslant 0$ — без лишнего раскрытия скобочек и деления многочленов.

-- 10.12.2023, 22:55 --

realeugene, да знаю я, мне интересно, как весь счёт сделать устным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка последовательности композиции
Сообщение11.12.2023, 00:07 


13/01/23
307
А когда известно, что циклов длины два нет, есть решение без вычислений вообще (компиляция того, что уже было сказано, на самом деле). Прошу тех, кто тоже решил задачу, оценить это решение — может, я что-то перемудрил и всё проще?

Я рекомендую ТСу не заглядывать под оффтоп.

(Решение)

Желательно в процессе чтения рисовать графики ($y = f(x)$ и $y = x$ при выбранных значениях $a$).

Случай $a \in \left(1; 2\right]$.

После первого же применения $f$ оказываемся в промежутке $\left(0; \frac{a}{4}\right] \subset \left(0; \frac{1}{2}\right]$. При $0 < x < 1 - \frac{1}{a}$ будет $x < f(x) < 1 - \frac{1}{a}$, а при $1 - \frac{1}{a} < x \leqslant \frac{1}{2}$ будет $1 - \frac{1}{a} < f(x) < x$, в любом случае последовательность монотонна.

Случай $a \in \left(2;3\right]$.

У $f(f(x)) - x$ нули только при $x \in \left\{0, 1 - \frac{1}{a}\right\}$, так что на интервале $(0; 1 - \frac{1}{a})$ либо $f(f(x)) > x$, либо $f(f(x)) < x$. Для $x$ близких к нулю очевидно $f(f(x)) > x$, так что и вообще на интервале $f(f(x)) > x$.

Рассмотрим теперь интервал $\left(\frac{1}{a}; 1 - \frac{1}{a}\right)$. Он выделяется тем, что на нём $f(x) > 1 - \frac{1}{a}$, и значит, $f(f(x)) < 1 - \frac{1}{a}$. А значит, на нём $x < f(f(x)) < 1 - \frac{1}{a}$ и из-за монотонности итерации $f \circ f$ на нём сходятся к $1 - \frac{1}{a}$.

Остаётся понять, почему итерации $f$ приведут либо в этот интервал, либо сразу в $1 - \frac{1}{a}$. Но при $x > 1 - \frac{1}{a}$ либо $f(x)$ попадает сразу в $\left(\frac{1}{a}; 1 - \frac{1}{a}\right)$, либо попадает в $\left(0; \frac{1}{a}\right]$. А на промежутке $\left(0; \frac{1}{a}\right]$ выполняется $x < f(x) \leqslant 1 - \frac{1}{a}$, так что итерации $f$ приведут с него на промежуток $\left(\frac{1}{a}; 1 - \frac{1}{a}\right]$, всё.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group