Выразить через интеграл Лапласа

[meshok]

Доброго времени суток!
Пусть $\xi_1, \xi_2$ --- независимые равномерно распределенные на отрезке $[0,1]$ случайные величины.
Тогда случайная величина $\xi=\sqrt{-2\ln\xi_1}\cos(2\pi\xi_2)$ имеет нормальное распределение.
Вычислим функцию распределения $F$ случайной величины $\xi$. Пусть $x>0$, тогда

$$F(x)=1-2\int\limits_0^{1/4}\exp\left(-\frac{x^2}{2\cos^2(2\pi t)}\right)dt.$$

Получается, что интеграл выше должен быть равен $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_x^{\infty}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)dt$.
Пробовал различные преобразования, но к такому виду не удалось привести. Самый близкий получившийся вариант - это

$$ \frac{x}{2\pi}\int\limits_x^\infty\frac{\exp(-t^2/2)dt}{t\sqrt{t^2-x^2}}. $$

Может кто-нибудь может подсказать, каким способом можно получить нужный интеграл $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_x^{\infty}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)dt$?

[Combat Zone]

del

[ShMaxG]

Мне кажется, что гораздо проще будет доказать более сильное утверждение. Пусть $\xi_1$ и $\xi_2$ -- указанные вами случайные величины. Докажите, что вектор $(\xi,\eta)$, где $\xi=\sqrt{-2\ln{\xi_1}}\cos(2\pi\xi_2)$, $\eta=\sqrt{-2\ln{\xi_1}}\sin(2\pi\xi_2)$, имеет двумерное нормальное распределение. Для этого достаточно воспользоваться формулой преобразования функции плотности при нелинейном преобразовании переменных (см. ее в учебниках). Лайфхак в том, что в этой формуле вам понадобятся выражения старых переменных от новых (а не наоборот), а они гораздо проще, чем указанные выражения новых переменных от старых.

[meshok]

ShMaxG
Спасибо! Именно так и звучала исходная задача. Вашим способом она вроде бы совсем просто решается: якобиан получился $\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right)$, и остается только правильно проинтерпретировать получившееся.
Я нарочно выбирал кустарный способ, чтобы, так сказать, набить руку и получить закалку.