Неподвижная точка последовательности композиции

[seraphimt]

Добрый день! Долгое время вожусь с задачей, пока вообще не понимаю в какую сторону копать. Не даром задача со звёздочкой.
Для $a\in(1,3)$ и для любого $x \in (0,1)$ последовательность $f^{on}$ сходится к неподвижной точке отображения $f$, где $f(x)=ax(1-x)$.
Пока понятно только, что неподвижная точка равна $1-\frac{1}{a}$. Вообще, задачу можно переформулировать как найти предел рекуррентной последовательности $x_n=ax_{n-1}(1-x_{n-1})$, где $x_0=x\in(0,1)$. Она ограниченна и если бы можно было доказать, что монотонна, то тогда существовал бы предел $x = ax(1-x)$ те как раз $1-\frac{1}{a}$. Но я поигрался, поподставлял всякое и она явно не монотонна. Разве что для $a=1$ это так и тогда предел существует и равен 0.

[realeugene]

Если из икса вычесть неподвижную точку, модифицированное отображение не получится сжимающим?

[mihiv]

Постройте на одном рисунке графики $y=f(x)$ и $y=x$ и посмотрите как ведут себя последовательные приближения $x_n$.

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1621541 писал(а):

Но я поигрался, поподставлял всякое

И что же вы поподставляли?

[Padawan]

А задача-то, действительно, - со звёздочкой. Весь день думал, ничего не придумал, как доказать. Буду рад увидеть решение.

-- Сб дек 09, 2023 21:24:09 --

realeugene в сообщении #1621543 писал(а):

Если из икса вычесть неподвижную точку, модифицированное отображение не получится сжимающим?

В окрестности неподвижной точки - да, будет. Но как доказать, что на какой-то итерации мы в эту окрестность попадем?
Да, ничего вычитать не надо. Исходное отображение и будет сжимающим.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1621621 писал(а):

seraphimt в сообщении #1621541 писал(а):

Но я поигрался, поподставлял всякое

И что же вы поподставляли?

У меня что-то в эксперименте $|x_n-x^*| $ (где $x^*=1-1/a$) монотонно убывает до нуля. Может не те начальные данные?

-- Сб дек 09, 2023 20:47:10 --

Padawan в сообщении #1621649 писал(а):

Исходное отображение и будет сжимающим.

Если это так, то можно предположить, что будет выполняться $|x_{n+1}-x^*|\le |a-2| |x_n-x^*| $ (я не проверял) . Но тогда почему задача со звёздочкой?

-- Сб дек 09, 2023 21:26:13 --

мат-ламер в сообщении #1621652 писал(а):

Если это так, то можно предположить, что будет выполняться $|x_{n+1}-x^*|\le |a-2| |x_n-x^*| $

Для того, чтобы проверить неравенство $|f(x)-x^*|\le \lambda |x-x^*|$ достаточно проверить $|f'(x)|\le \lambda$ (учитывая $x^*=f(x^*)$) .

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1621652 писал(а):

Если это так, то можно предположить, что будет выполняться $|x_{n+1}-x^*|\le |a-2| |x_n-x^*| $ (я не проверял) . Но тогда почему задача со звёздочкой?

Извиняюсь. Тут у меня опечатка. Вместо члена $|a-2|$ должно стоять что-то другое. Уже завтра додумаю.

-- Сб дек 09, 2023 23:36:52 --

мат-ламер в сообщении #1621652 писал(а):

Для того, чтобы проверить неравенство $|f(x)-x^*|\le \lambda |x-x^*|$ достаточно проверить $|f'(x)|\le \lambda$ (учитывая $x^*=f(x^*)$) .

И вообще, это слишком грубая оценка.

-- Вс дек 10, 2023 00:23:54 --

Padawan в сообщении #1621649 писал(а):

Исходное отображение и будет сжимающим.

Что-то я засомневался. Я сначала поверил. Думал ТС подключится. На самом деле область сжатия вокруг предельной точки есть. По крайней мере, она включает интервал $|x-1/2|<1/2a$ . А что будет вне его, надо посмотреть отдельно. Уже завтра посмотрю. По крайней мере, чем больше $a$ , тем вопросов больше.

[mihiv]

Нужно рассматривать несколько случаев в зависимости от величины параметра $a$ и величины $x_0$. Разберу только один.
Пусть, например, $x_0\in (0,x_c), a\in (1,2), x_c-$неподвижная точка. При этом максимум $f(x)$ находится под прямой $y=x$ и равен $f_{max}=\frac a4<\frac 12$, отсюда следует, что $0<x_n<\frac 12$.
Неподвижная точка $x_c=1-\frac 1a, 0<x_c<\frac 12$ (для выбранных значений параметра $a$). Так как $x_0\in (0,x_c)$, то $x_1>x_0\eqno (1)$.

$$x_{n+1}-x_n=f(x_n)-f(x_{n-1})=(x_n-x_{n-1})a(1-(x_n+x_{n-1}))\eqno (2)$$

Так как $x_n+x_{n-1}<1$, то из (1) и (2) следует, что последовательность x_n$ монотонно возрастает и ограничена, а значит имеет предел, равный $x_c$.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1621677 писал(а):

А что будет вне его, надо посмотреть отдельно. Уже завтра посмотрю.

Посмотрел сегодня. Этот интервал определяется соотношением $|f'(x)|<1$ . Там точно есть сжатие. А если начальная точка лежит вне этого интервала, то она первым же ходом попадает в него. Таким образом, отображение всюду сжимающее.

(Оффтоп)

Чего-то я капитально затупил. Но я и не старался решать. Надеялся, что ТС подключится.

-- Вс дек 10, 2023 00:51:59 --

мат-ламер в сообщении #1621682 писал(а):

то она первым же ходом попадает в него

Это я поторопился. Не обязательно первым ходом. Но, если не попадёт сразу, то попадёт в интервал $(0,1/2-1/2a)$ . Дальше $x_n$ будет монотонно возрастать, пока не попадёт в требуемый интервал.

[realeugene]

Как идея: доказывать, что двойная итерация функции не увеличивает расстояние до точки устойчивого равновесия. То, что что нет циклов длины 2, не являющихся циклами длины 1, доказывается несложно.

[KhAl]

realeugene, мне решение мат-ламер больше нравится...

[realeugene]

Наиболее интересен случай $a=3-\varepsilon$.

Для $a=2.9$ и $x_0 = 0.1$ модуль разности до неподвижной точки вплоть до $x_8$ немонотонен:

 0: -0.5552
 1: -0.3942
 2: -0.0958
 3:  0.0596
 4: -0.0640
 5:  0.0457
 6: -0.0472
 7:  0.0360
 8: -0.0362

При $a=3$ у предельной точки модуль производной меньше единицы только с одной стороны, но последовательность сходится к ней всё равно.

[мат-ламер]

KhAl в сообщении #1621701 писал(а):

realeugene, мне решение мат-ламер больше нравится...

Рано меня хвалить. Отображение не является всюду сжимающим. Вчера вечером уже голова не соображала. Но если отображение не является сжимающим относительно расстояния до предельной точки, то может быть можно будет подобрать какую-то специальную функцию, которая будет постепенно убывать до нуля?

-- Вс дек 10, 2023 11:11:19 --

мат-ламер в сообщении #1621677 писал(а):

По крайней мере, чем больше $a$ , тем вопросов больше.

realeugene в сообщении #1621717 писал(а):

Для $a=2.9$

А если положить $a=2.99$ , то ещё всё интереснее.

-- Вс дек 10, 2023 11:17:45 --

мат-ламер в сообщении #1621721 писал(а):

А если положить $a=2.99$ , то ещё всё интереснее.

Но в принципе всё обозримо и понятно. Надо следить отдельно за чётными и нечётными итерациями. Либо исходное отображение возвести в квадрат и следить за ним.

[Combat Zone]

seraphimt в сообщении #1621541 писал(а):

$f^{on}$

А что это такое? Композиция $f$ $n$ раз?

[мат-ламер]

Рассмотрим самый худший случай $a=3$ (который рассматривать и не требовалось, но тем не менее). Пусть $f(x)=3x(1-x)$ . Тогда $f^2(x)=9x(1-x)(1-3x+3x^2)$ . Неподвижная точка будет $x^*=2/3$ . Тогда можно доказать, что $|f^2(x)-2/3|<|x-2/3|$ для всех $x$ из интервала $(0,\alpha)$ , где $\alpha \approx 0.95$ . (Кроме того, для $x=2/3$ наше строгое неравенство превращается в равенство). Правый конец $(\alpha,1)$ в доказательстве роли не играет. Если мы возьмём начальную точку в этом интервале, то мы сразу из него выходим и больше в него не возвращаемся.

Надеюсь ТС восполнит недостающие детали и рассмотрит случай произвольного $a$ .