Расчет интерференционного фильтра

[Rat]

При расчете интерференционнго фильтра состоящего из подложки $n_2$ с нанесенными на нее покрытиями $\widetilde{n_1}$ и $\widetilde{n_3}$ я использовала матричный метод. Расчет проводила в mathematica. Но полученные мною графики в mathematica не сходятся с графиками, показанными на рисунке выше. Коэффициент пропускания T считала по следующей формуле:

$$T=Abs \left( \tau_1 \tau_2 \frac{\exp{i \delta}}{1- \rho_1 \rho_2 \exp{2i \delta}} \right )^2$$

, где
$\tau_1$ - коэффициент пропускания первого покрытия (из воздуха в стекло через первое покрытие)
$\tau_2$ - коэффициент пропускания второго покрытия (из стекла в воздух через второе покрытие)
$\rho_1$ - коэффициент отражения от первого покрытия (граница $n_2-\widetilde{n_1}$)

$\rho_2$ - коэффициент отражения от второго покрытия (граница $n_2 - \widetilde{n_3}$)

$$\delta = 2 \frac{\pi}{\lambda} n_2 d_2$$

У меня получился следующий график:

[Munin]

Rat в сообщении #162142 писал(а):

Коэффициент пропускания T считала по следующей формуле:

$$T=Abs \left( \tau_1 \tau_2 \frac{\exp{i \delta}}{1- \rho_1 \rho_2 \exp{2i \delta}} \right )^2$$

А как вы эту формулу получили?

[Rat]

Формулу выводила аналогично методу, описанному в книге А.Н. Матвеева "Оптика" (М:, Высшая школа 1985, стр .171)

[Munin]

Я почему-то вижу нужные формулы на сс. 186-189.

Вы можете привести промежуточные выкладки? Например, отдельно матрицы?

[Rat]

Я рассуждала следующим образом:
Прошедшее излучение можно представить в виде:
$E_{np}=E_1+E_2+E_3+E_4+...$
Исходя из рисунка, где
$n_{st}$ - коэффициент преломления стеклянной подложки
$d_{st}$ - толщина стеклянной подложки
$\tau_1$ - коэффициент пропускания первого покрытия (из воздуха в стекло через первое покрытие)
$\tau_2$ - коэффициент пропускания второго покрытия (из стекла в воздух через второе покрытие)
$\rho_1$ - коэффициент отражения от первого покрытия (при при падении излучения на границу подложка-первое покрытие )

$\rho_2$ - коэффициент отражения от второго покрытия (при при падении излучения на границу подложка-второе покрытие )

получаем:

$$E_np=E_0 \tau_1 \tau_2 \exp\left (i \frac{2 \pi}{\lambda}n_{st}d_{st} \right ) + E_0 \tau_1 \tau_2 \rho_1 \rho_2 \exp\left (i \frac{2 \pi}{\lambda}n_{st}d_{st} \right ) \exp\left (i \frac{4 \pi}{\lambda}n_{st}d_{st} \right ) $$

При вынесении за скобку, в скобках получается сумма геометрической прогрессии:

$$E_np=E_0 \tau_1 \tau_2 \exp \left (i \frac{2 \pi}{\lambda}n_{st}d_{st} \right ) \left ( \frac{1}{1- \rho_1 \rho_2 \exp\left (i \frac{2 \pi}{\lambda}n_{st}d_{st}} \right ) \right ) $$

$$\frac{E_np}{E_0}=\tau_1 \tau_2 \exp \left (i \frac{2 \pi}{\lambda}n_{st}d_{st} \right ) \left ( \frac{1}{1- \rho_1 \rho_2 \exp\left (i \frac{2 \pi}{\lambda}n_{st}d_{st}} \right ) \right ) $$

Следовательно:

$$ \left (\frac{E_np}{E_0} \right )^2=T=\left |\tau_1 \tau_2 \exp \left (i \frac{2 \pi}{\lambda}n_{st}d_{st} \right ) \left ( \frac{1}{1- \rho_1 \rho_2 \exp\left (i \frac{2 \pi}{\lambda}n_{st}d_{st}} \right ) \right )} \right |^2 $$

Я так же пыталась просчитать этот фильтр с использованием матричного метода, но результат так же не получился

[Zai]

Ваш результат, даже если Вы правильно все вычислили качественно отличается от рис. 6.11 (Не могли бы Вы дать ссылку и на эту монографию). Основной пик у Вас совпадает с приведенным, однако отсутствует второй пик. Также после основного пика у Вас наблюдается постоянное пропускание по длине волны, что также отсутствует на рис. 6.11

[AlexNew]

разберитесь с этим сначала
http://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/ewa/ch05.pdf
http://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/ewa/ch06.pdf

[Rat]

Вот ссылка на "монографию":

http://ifolder.ru/9277459

Добавлено спустя 22 минуты 1 секунду:

AlexNew

Спасибо за литературу.
Я всегда использовала матричный метод описания распространения излучения с слоистых средах. И у меня не было никаких проблем, пока я не стала учитывать поглощение.

[AlexNew]

мне тоже нравится матричный,
там фактически 2 матрицы - границы сред и "передаточная" матрица,
Если у вас поглощемие в среде то добавте мнимый вектор к волновому вектору в передаточной матрице. Или можно добавить 3 матрицу для описания поглащения на границе сред.

[Rat]

AlexNew
То есть это означает, что я в матрицу подставляю показатель преломления в комплексной форме?

[AlexNew]

да, exp с этим коэфициэнтом дилжна быть действительной (закон Бугера) поэтому показатель преломления мнимый.
Но это для поглащения между зеркалами,

На границе нужно добавить еще одну матрицу для учета поглащения если оно конечно есть.

[Rat]

А в чем тогда моя ошибка? Я же учитываю только то, что прошло через фильтр.

[AlexNew]

я не думаю что поглощение повлияет на второй пик, наверное гдето просто глупая ошибка.
Кстати спктр странный, ожидаешь увидить что-нибудь похожее на бреговскую структуру.
Можно поиграть с числом отражений например или попробывать посчитать для других случаев, чтобы быть увереным в том что нет ошибок.

[peregoudov]

Rat в сообщении #162373 писал(а):

И у меня не было никаких проблем, пока я не стала учитывать поглощение.

А как Вы учитываете поглощение? И поглощение где? И чему равны эти Ваши $\tau,\rho$?

При вещественном $\delta$ Ваша формула --- просто $\pi$-периодическая по $\delta$ функция. То есть пики должны повторяться и идти равномерно в шкале $1/\lambda$. Если же $\delta$ лежит на луче в комплексной плоскости, близком к вещественной прямой, то высота пиков будет меняться: пики с большей мнимой частью $\delta$ будут пониже. Наличие или отсутствие мнимой части у $\tau,\rho$ никак на этот вывод не влияет.

[Rat]

peregoudov
Подставляю в матрицу комплексный показатель преломления, так как мнимая часть указывает на поглощение.

Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд:

AlexNew
Вот для разного числа слоев, но без поглощения получаются красивые графики, напоминающие бреговскую структуру.