Устойчивость знака нормальной производной

[thething]

Добрый вечер! В учебнике Кошлякова по уравнениям в частных производных предлагается доказать принцип максимума для гармонических функций, используя тот факт, что интеграл от нормальной производной гармонической функции по замкнутой поверхности, лежащей в области гармоничности, равен нулю. Даётся такое указание: воспользоваться тем, что на шаровой поверхности достаточно малого радиуса, окружающей точку максимума или минимума функции $u$, производная $\dfrac{\partial u}{\partial n}$ сохраняет знак.

У меня вопрос в связи с этим указанием: это что-то известное или очевидное? Просто мне вообще не ясно, почему это так и откуда может следовать. Натолкните, пожалуйста, на мысли в правильном направлении.

[mihiv]

thething
Из уравнения: $U_{xx}=-U_{yy}$, поэтому, если в точке $M_0$ функция имеет максимум по переменной $x$, то она имеет минимум по $y$, т.е. это седловая точка.

[Red_Herring]

mihiv в сообщении #1620981 писал(а):

Из уравнения: $U_{xx}=-U_{yy}$, поэтому, если в точке $M_0$ функция имеет максимум по переменной $x$, то она имеет минимум по $y$, т.е. это седловая точка.

А откуда известно, что обе эти производные не равны $0$?

[thething]

mihiv
Там речь про $\mathbb{R}^n$, но это ладно. Насколько я понимаю, как раз возможность обнуления вторых производных и не позволяет доказать напрямую, что любая критическая точка гармонической функции является седловой. А вот из принципа максимума это бы уже следовало (для непостоянных функций).

[KhAl]

thething в сообщении #1620969 писал(а):

Даётся такое указание: воспользоваться тем, что на шаровой поверхности достаточно малого радиуса, окружающей точку максимума или минимума функции $u$, производная $\dfrac{\partial u}{\partial n}$ сохраняет знак.

Это что-то сложное, потому что для функций общего вида неверно (хотя интуиция понятна — если функция в данном направлении убывает, то и производная по направлению вроде как должна быть неположительна). Для аналитических функций, вроде, верно — и для гладких функций, у которых какой-то начальный кусок ряда Тейлора имеет в точке строгий локальный максимум .

У меня попытка как-то всё же использовать нормальные производные мгновенно приводит к лемме о среднем, наверное, это не то...

-- 06.12.2023, 18:02 --

P.S. утверждение неверно в формулировке "для любой шаровой поверхности достаточно малого радиуса производная сохраняет знак". Насчёт "найдётся шаровая поверхность достаточно малого радиуса..." я не знаю, но наверное тоже неверно.

[thething]

KhAl в сообщении #1621208 писал(а):

P.S. утверждение неверно в формулировке "для любой шаровой поверхности достаточно малого радиуса производная сохраняет знак". Насчёт "найдётся шаровая поверхность достаточно малого радиуса..." я не знаю, но наверное тоже неверно.

Имеется ввиду "найдётся..." На момент возникновения этой задачи теорема о среднем ещё не возникла, как и свойство аналитичности. Фактически, только принцип максимума имеется, лемма об устранимой особенности и указанная теорема о потоке... ну, формулы Грина, конечно тоже.

-- 06.12.2023, 21:22 --

Меня откровенно сбивает с толку, что этот факт Кошляков преподносит, как нечто очевидное, и по большому счёту задачки там у него несложные. А эта в ступор вводит...

[Padawan]

thething в сообщении #1621234 писал(а):

Меня откровенно сбивает с толку, что этот факт Кошляков преподносит, как нечто очевидное

Да, нет, глупость это. Правильно KhAl говорит. Для гладких функций неверно, что в точке максимум нормальные производные будут отрицательны на сферах малых радиусов.

[Red_Herring]

Лучше всего доказывать исходя из того, что у гармонической функции среднее по любой сфере совпадает со значением в ее центре.

[thething]

Padawan в сообщении #1621240 писал(а):

Для гладких функций неверно, что в точке максимум нормальные производные будут отрицательны на сферах малых радиусов

Да не на сферАХ же, а на сферЕ.

Red_Herring в сообщении #1621254 писал(а):

Лучше всего доказывать исходя из того, что у гармонической функции среднее по любой сфере совпадает со значением в ее центре.

Вы про принцип максимума или про утверждение о нормальной производной?

[Red_Herring]

thething в сообщении #1621301 писал(а):

Вы про принцип максимума или про утверждение о нормальной производной?

про принцип максимума

[thething]

Я, в принципе, уже сам склоняюсь, что утверждение какое-то "левое". Хотя бы потому, что есть целая лемма Хопфа-Олейник только для того, чтобы показать наличие строгого знака нормальной производной всего в одной точке. Кстати, если поставить на сфере задачу Неймана, то окажется, в силу упомянутой леммы, что нормальная производная должна в принципе хоть раз обратиться в нуль.