производные

[Stynt]

подскажите как найти здесь производную?
$y=x^5*\sqrt{\frac{x-4}{(x+1)\sqrt{x-5}}$
я полагаю, что искать по формуле производной частного?
а здесь тоже по формуле производной частного?
$y=\frac{\sqrt[5]{2x^2+1}}{\sqrt[3]{x^2+1}*\sqrt{(x-2)^3}}$

[ewert]

Стандартный пример, совершенно откровенно ориентированный на логарифмическую производную.

Т.е. возьмите логарифм от этого выражения, сосчитайте в уме производную того, что получится, -- и учтите, что в левой части при этом выйдет ${y'\over y}$.

[Stynt]

что-то я не очень поняла как это сделать... можно хотя бы ссылочку на примерчик как это сделать?!

[ИСН]

Тогда делайте так, как понятно. Т.е. по определению - производная частного и так далее.
(В те годы, когда я проходил ту же тему, я бы именно так и делал - ибо "логарифмическая производная" как отдельный приём у нас не фигурировала.)

[ewert]

Stynt в сообщении #162112 писал(а):

что-то я не очень поняла как это сделать...

Пишем:

$\ln y=\ln\left(x^5*\sqrt{\frac{x-4}{(x+1)\sqrt{x-5}}\right)$;

$(\ln y)'={y'\over y}=\left[\ln\left(x^5*\sqrt{\frac{x-4}{(x+1)\sqrt{x-5}}\right)\right]'$,

и игрек в знаменателе левой части нам известен, а логарифм в правой очевидным образом упрощается.

[Stynt]

если я правильно поняла, то сократится в левой и правой части то что в скобках логарифма, а останется только в правой части производная скобки. а смысл?

[ewert]

нет, там ничего не сократится, там пафос в другом. На игрек в знаменателе левой части плявать, мы его и так знаем, а вот в правой логарифм произведения/частного равен сумме/разности логарифмов (ну и со степенями соотв.), что резко упрощает дифференцирование.

[Stynt]

ах да, как же я об этом не подумала. но ведь если решать самым обычным методом по формуле частного, то будет такой же ответ?

[AD]

Stynt в сообщении #162130 писал(а):

но ведь если решать самым обычным методом по формуле частного, то будет такой же ответ?

Вопрос философский. Но, тем не менее, можно доказать, что будет такой же. И у вас для этого всё есть.

[Stynt]

еще такой вопрос:
нужно доказать, что функция y=y(x) удовлетворяет уравнению:
$y=e^{2x}*cos(2x)+0,13*e^x*cos(x)+0,1*e^x*sin(x)$
тут каким способом доказывать?

[ewert]

Никаким. Нет уравнения.