Определение тензора и вектора в физике

[Cosmochelik]

В задачнике Батыгина Топтыгина по Электродинамике встретил вот такое определение вектора в самом первом параграфе:
Вектором в трехмерном пространстве называеться совокупность трех величин, преобразующихся при поворотах по формулам :$ A_i^{'} =\sum\limits_{i = 1}^{3} \alpha_{ik}A_k$
А почему при поворотах именно ? Разве не при любых преобразованиях координат ?
Далее аналогичное определение тензора: $ T_{ik}^{'} =\sum\limits_{i = 1}^{3} \alpha_{il} \alpha_{km} T_{lm}$
В математике, насколько мне известно ( а известно о тензорах мне всего 4 дня) там могут быть стоять матрицы не только поворотов но и переходов к другим произвольным базисам, и более того, я правильно понимаю что тут не рассматриваются тензоры типа (1,1) например т.е. где стоит обратная матрица как второй сомножитель ?

[Утундрий]

Классическая электродинамика обычно излагается в плоском п.-в. и, как правило, в стандартных координатах. Делается это в целях минимизации числа повесившихся студентов. Позже, к выжившим, прилагают более абстрактные концепции.

[Cosmochelik]

Утундрий
А, тоесть в ортонормированых координатах, и поэтому мы ну учитываем всякие растяжение и т.п. ?

[svv]

Cosmochelik в сообщении #1620759 писал(а):

я правильно понимаю что тут не рассматриваются тензоры типа (1,1) например т.е. где стоит обратная матрица как второй сомножитель ?

Не совсем так. (Сказанное ниже относится к случаю евклидова (не псевдоевклидова) пространства.)
Если мы ограничиваемся ортонормированными базисами, то матрица перехода от одного базиса к другому будет ортогональной:
$P^{-1}=P^\top$, т.е. $P P^\top=P^\top P=E$

Теперь возьмём два тензора второго ранга:
ковариантный (т.е. билинейную форму) $\mathsf A$, и
смешанный (т.е. линейный оператор) $\mathsf B$.
Запишем законы преобразования их компонент при замене базиса в индексной и матричной записи:
$\begin{array}{cl}\tilde a_{k\ell}=P^{i}{}_{\tilde k}\;P^{j}{}_{\tilde\ell}\;a_{ij}&\tilde A=P^\top A P \\ \tilde b^k{}_\ell = P^{\tilde k}{}_{i}\;P^{j}{}_{\tilde\ell}\;b^{i}{}_{j}&\tilde B=P^{-1} B P\end{array}$
Индексы без тильды относятся к одному базису («старому»), с тильдой — к другому («новому»); если тильда стоит над обозначением тензора ($\tilde a_{k\ell}, \tilde b^k{}_\ell$), она считается относящейся ко всем индексам.

Вы видите, что если $P^{-1}=P^\top$, то различие между законами преобразования компонент тензоров второго ранга разных типов (и необходимость различать эти типы) исчезает.

[Vadim32]

Тут дело в том что величины, которые описываются полем связаны с системой координат и не всегда являются независимыми от системы координат. Это не просто заданные математические функции, в них есть физический смысл, который поменяется при смене координат.

Представьте что у вас одномерная система координат, навстречу дует ветер, он тоже одномерный. Сила ветра -1 м/c, он дует в лицо. Вы строите функцию f(x)=-1. А теперь, просто математически поменяйте сиcтему координат x'=-x, f(x')=f(-x)=-1. Но это неверно, потому что при смене координат направление ветра поменялось, он теперь дует в спину. При смене системы координат сила ветра поменяет знак. Значение ветра во всех точка поменяются. f(x')=-f(-x) Вот так правильно. Тензор это не просто математическая функция, но и указание, как надо менять значения функции в каждой точке при смене координат. Например, высота уровня земли h(x) это инвариант, значит при смене координат x'=-x получим функцию h(x')=h(-x) значения функции не поменяются. Сила ветра, то есть скорость ветра это, кажется ковариант, если не ошибаюсь. Если при смене координат нам не нужно менять значения самих функций, то это инвариант или вектор. В вашей формуле просто указано, что значения функции при смене координат менять не нужно, это инвариант, то есть вектор.

[Ende]

Vadim32
Даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы. Не x'=-x, но $x'=-x$, и т.д.
(краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

[Cosmochelik]

svv
Спасибо, стало понятнее
В книге Будак Фомин "Кратные интегралы и ряды" я нашел что когда мы рассматриваем только ортонормированные базисы, то такие тензоры называют аффинным ортогональным тензорами. В книге по Электродинамике Бредова так же указано в сноске что они рассматривают только афинные
Но для меня немного странно это все. Если например, взять определение вектора как афинный тензор 1-го ранга, т.е. меняющийся при поворотах по указаному закону, будет ли он вектор в общем смысле (меняющимся по указаному закону при произвольных преобразованиях) ?
Меня на этот вопроса натолкнула задача под номером 4 в сборнике Батыгина
Доказать что если $a_i = T_{ik}b_k$ в каждой системе координат, и $ T_{ik}$ тензор 2-го ранга, $b_k$ - вектор то $a_i$ тоже вектор
Это легко доказать при понимании тензора как афинного ортогонального, как это и предполагалось в этой книге, ибо тогда производение матрицы перехода на транспонированую дают единичную, и записав это выражение при переходе к другой системе координат можно доказать что $a_i $меняетья изменяет свои компоненты как вектор.
Но будет ли он оставаться вектором при переходе к произвольной системе координат ? Т.е. уйдя от понятия афинного тензора к общему, мне кажеться что это будет выполнено для тензора (1,1), но не для (2,0) (Или наоборот, точно не соображу)

[мат-ламер]

Cosmochelik в сообщении #1620820 писал(а):

мне кажеться что это будет выполнено для тензора (1,1)

Я бы тоже в этой задаче перенёс бы в тензоре индекс $k$ наверх. Тогда смысл написанного означал бы, что если бы мы линейным оператором воздействовали на вектор, то получили бы вектор.

[svv]

Cosmochelik
Вам попалось несколько неудачных определений или пояснений, где не был сделан нужный акцент, и в результате у Вас сложилось неверное представление о том, что такое аффинный тензор. Возьмём книгу D.Kay, Schaum's Outline of Tensor Calculus (стр. 31):

К сожалению, и это нуждается в пояснении. Во-первых, слово linear не является препятствием для применения аффинных тензоров при произвольных нелинейных преобразованиях координат, поскольку в каждой точке матрица перехода составлена из частных производных старых координат по новым (т.е. это матрица Якоби). Поэтому для преобразования компонент тензора важна лишь главная линейная часть преобразования координат в этой точке (дифференциал). Здесь от матрицы перехода требуется только невырожденность. Итак, аффинные тензоры — это просто тензоры в обычном смысле слова.

Если же тензор "правильно ведет себя" при ортогональных преобразованиях, Кэй называет его декартовым. Обычно при этом другие преобразования и не рассматриваются. Теория таких тензоров проще, чем более общая теория аффинных тензоров. Здесь не надо различать ковариантные и контравариантные индексы. Получается такая игрушечная теория для начального ознакомления.

Почему же Кэй пишет, что affine tensors are special cartesian tensors, а не наоборот? Потому что из всех объектов, ведущих себя как тензор при ортогональных преобразованиях (cartesian tensors), лишь часть ведёт себя как тензор при произвольных преобразованиях (affine tensors). А с практической точки зрения аффинные тензоры, наоборот, более общий и сложный случай. Как я сказал, это просто тензоры, без ограничения на матрицу перехода.

Разберём конкретные упоминания термина.

Будак, Фомин:

Цитата:

называется аффинным ортогональным тензором

Т.е. тензором относительно не просто аффинных, но ещё и ортогональных преобразований. Термин "аффинный" сам по себе не означает, что преобразования только ортогональные. Именно поэтому добавляется слово "ортогональный". По Кэю, это декартов тензор.

Бредов, Румянцев, Топтыгин:

Опять можно подумать, что аффинные — это какой-то частный случай. На самом деле, четырёхмерные тензоры рассматриваются тут в связи с теорией относительности, где четырёхмерное пространство-время — это уже не евклидово пространство, а псевдоевклидово (или псевдориманово, в случае кривизны). И там матрица перехода уже не ортогональна даже при использовании только ортонормированных базисов и координат, являющихся аналогом декартовых. Поэтому фраза "мы используем только аффинные тензоры" означает, что при изучении теории относительности мы никак не можем ограничиться лишь ортогональными преобразованиями, а приходится рассматривать общий случай.

[Cosmochelik]

svv
Так, спасибо, теперь мне стало понятней

Цитата:

Потому что из всех объектов, ведущих себя как тензор при ортогональных преобразованиях (cartesian tensors), лишь часть ведёт себя как тензор при произвольных преобразованиях (affine tensors)

А как быть с этой задачей ? Если рассматривать тензор как афинный ортогональный, то $a_i $ вектор
Получаеться, если тензор просто афинный, то $a_i$ уже не всегда будет вектором и это нормально ?

[lazarius]

svv в сообщении #1620919 писал(а):

К сожалению, и это нуждается в пояснении. Во-первых, слово linear не является препятствием для применения аффинных тензоров при произвольных нелинейных преобразованиях координат, поскольку в каждой точке матрица перехода составлена из частных производных старых координат по новым (т.е. это матрица Якоби). Поэтому для преобразования компонент тензора важна лишь главная линейная часть преобразования координат в этой точке (дифференциал). Здесь от матрицы перехода требуется только невырожденность. Итак, аффинные тензоры — это просто тензоры в обычном смысле слова.

Мне это не совсем понятно. Насколько я понимаю из вида этих linear или rectilinear преобразований, $x$ здесь является вектором относительно них. При этом относительно curvilinear преобразований он вектором не является - вектором является только его дифференциал. То есть не каждый аффинный тензор является тензором относительно произвольных преобразований.

-

[nomas1000001]

Cosmochelik в сообщении #1620759 писал(а):

А почему при поворотах именно ? Разве не при любых преобразованиях координат ?

Кроме поворотов есть еще трансляции, т.е. параллельные переносы, они проще вращений, поэтому сказано именно про вращения. Наверное поэтому так написали.

[svv]

Cosmochelik в сообщении #1620934 писал(а):

А как быть с этой задачей ? Если рассматривать тензор как афинный ортогональный, то $a_i $ вектор
Получаеться, если тензор просто афинный, то $a_i$ уже не всегда будет вектором и это нормально ?

Только наоборот: аффинные векторы/тензоры преобразуются как тензоры при любых линейных преобразованиях, а для аффинных ортогональных тензорный закон гарантируется только при ортогональных преобразованиях. "Недостаточно тензорными" являются именно вторые.

Рассмотрим конкретный пример. Имеется некоторое обобщение тензоров, называется "тензорная плотность". В английской Википедии есть статья Tensor density. Найдите там формулу:
${\mathfrak{T}}^\alpha_\beta =\left( \det{\left[\frac{\partial \bar{x}^{\iota}}{\partial {x}^{\gamma}}\right]} \right)^{W} \, \frac{\partial {x}^{\alpha}}{\partial \bar{x}^{\delta}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\epsilon}}{\partial {x}^{\beta}} \, \bar{\mathfrak{T}}^{\delta}_{\epsilon}$
Это закон преобразования смешанной (1,1) тензорной плотности второго ранга и веса $W$ (вес является частью типа). Вам достаточно знать, что есть такая штука, и она где-то полезна.
Видно, что закон напоминает соответствующий тензорный, если не считать "лишний" множитель $\left( \det{\left[\frac{\partial \bar{x}^{\iota}}{\partial {x}^{\gamma}}\right]} \right)^{W}$. Но если взять вес $W=2$ и рассмотреть только ортогональные преобразования, то этот множитель обратится в единицу, закон станет точно тензорным, и мы не заметим, что эта штука другой природы.

Свёртка ${\mathfrak{T}}^\alpha_\beta$ с обычным вектором $b^\beta$ не исправит положения. Результат можно обозначить $a^\alpha$, но это не будет обычный вектор, поскольку в закон его преобразования войдёт тот лишний множитель. И опять-таки, мы не заметим никакого отличия, если ограничимся ортогональными преобразованиями. Поэтому на вопрос

Cosmochelik в сообщении #1620934 писал(а):

если тензор просто афинный ортогональный, то $a_i$ уже не всегда будет вектором и это нормально ?

ответ — да, не всегда. В общем случае он будет преобразовываться как вектор только при ортогональных преобразованиях.

-- Вт дек 05, 2023 04:52:39 --

lazarius в сообщении #1620961 писал(а):

Мне это не совсем понятно.

Я имел в виду, что компоненты касательного вектора (элемента касательного векторного пространства в любой точке) в координатном базисе при любых преобразованиях координат преобразуются линейно.

[мат-ламер]

Cosmochelik в сообщении #1620820 писал(а):

Меня на этот вопроса натолкнула задача под номером 4 в сборнике Батыгина
Доказать что если $a_i = T_{ik}b_k$ в каждой системе координат, и $ T_{ik}$ тензор 2-го ранга, $b_k$ - вектор то $a_i$ тоже вектор
Это легко доказать при понимании тензора как афинного ортогонального, как это и предполагалось в этой книге, ибо тогда производение матрицы перехода на транспонированую дают единичную, и записав это выражение при переходе к другой системе координат можно доказать что $a_i $меняетья изменяет свои компоненты как вектор.
Но будет ли он оставаться вектором при переходе к произвольной системе координат ?

Так какой же будет ответ в задаче 4? Прежде всего, что имеется в виду под "каждой системой координат"?

(У себя я эту задачу нашёл в третьем издании задачника. В первом параграфе ничего не говорится о том, какие рассматриваются системы координат и какие рассматриваются базисы в них. Правда, косвенно можно догадаться насчёт базисов (они подразумеваются ортонормированные). У меня есть интуитивная догадка, что криволинейные системы координат начинаются в сборнике, начиная со второго параграфа. А в первом по умолчанию рассматриваются декартовы. Но может я тут ошибаюсь.)