Хорошо.
Теперь рассмотрите множества
![$A := \{L(f, P, [a, b])| \text{по всем} P\}$ $A := \{L(f, P, [a, b])| \text{по всем} P\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/6/246d97e7c82692ddc21441a7b63469fb82.png)
,
![$B := \{L(g, P, [a, b])| \text{по всем} P\}$ $B := \{L(g, P, [a, b])| \text{по всем} P\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/a/caa9bd927ee0c3e375c720fa63fa82a282.png)
,
![$C := \{L(f+g, P, [a, b])| \text{по всем} P\}$ $C := \{L(f+g, P, [a, b])| \text{по всем} P\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/a/1da737a1d15c00abbdf9cdf68bd2095282.png)
.
Согласны, что
![$L(f, [a, b]) = \sup A$ $L(f, [a, b]) = \sup A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/f/d9f096d9469efb54e2271635c0a3589d82.png)
![$L(g, [a, b]) = \sup B$ $L(g, [a, b]) = \sup B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/0/580a0b825a81419b4de9a1b650524b3282.png)
![$L(f+g, [a, b]) = \sup C$ $L(f+g, [a, b]) = \sup C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/9/029f0e195140c81a29a177d263e9fb2682.png)
?
-- 29.11.2023, 18:31 --Я ближайшие часа 2-3 не смогу зайти сюда, поэтому чтобы Вы не ждали, напишу что примерно делать дальше.
Рассмотрим еще и множество

- сумму по Минковскому.
Возьмем произвольный элемент
![$L(f, P_1, [a, b]) \in A$ $L(f, P_1, [a, b]) \in A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/d/0dd96dcb4c0a1de9878b3796f71d960c82.png)
и произвольный элемент
![$L(g, P_2, [a, b]) \in B$ $L(g, P_2, [a, b]) \in B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/1/541623c1eae5458afc7b10b94a77aa6782.png)
. И еще рассмотрим разбиение

(оно, очевидно, будет являться продолжением их обоих). Легко показать, что
![$L(f, P_1, [a, b]) \leqslant L(f, P, [a, b])$ $L(f, P_1, [a, b]) \leqslant L(f, P, [a, b])$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/a/bcaf02fb837dd024be4ed991ca29010782.png)
![$L(g, P_2, [a, b]) \leqslant L(g, P, [a, b])$ $L(g, P_2, [a, b]) \leqslant L(g, P, [a, b])$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/e/19e0bf5893a201ef7a38e92b53fa036982.png)
Тогда:
![$$L(f, P_1, [a, b]) + L(g, P_2, [a, b]) \leqslant L(f, P, [a, b]) + L(g, P, [a, b]) \leqslant L(f+g, P, [a, b]) \leqslant L(f+g, [a, b]) $$ $$L(f, P_1, [a, b]) + L(g, P_2, [a, b]) \leqslant L(f, P, [a, b]) + L(g, P, [a, b]) \leqslant L(f+g, P, [a, b]) \leqslant L(f+g, [a, b]) $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/c/9cce11fe783db36ea39143d0395e655282.png)
(предпоследнее неравенство Вы, насколько я понял, доказывать умеете)
Это значит, что
![$ L(f+g, [a, b]) = \sup C$ $ L(f+g, [a, b]) = \sup C$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/e/22e0d04c034bd063a59255087222a02082.png)
является верхней гранью для множества

, а значит
![$$L(f, [a, b]) + L(g, [a, b]) = \sup A + \sup B = \sup (A+B) = \sup D \leqslant \sup C = L(f+g, [a, b])$$ $$L(f, [a, b]) + L(g, [a, b]) = \sup A + \sup B = \sup (A+B) = \sup D \leqslant \sup C = L(f+g, [a, b])$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/4/ec49daeb332388809febe5c6f62c958b82.png)
Набирал торопясь, поэтому рекомендую проверить повнимательнее, но идею я думаю передать смог.