Riemann Integration

[Snow1]

Suppose $f , g \colon [a, b] \to \mathbf R$ are bounded functions. Prove that $L( f , [a, b]) + L(g, [a, b]) \le L( f + g, [a, b])$.

Легко показать что $L( f , P, [a, b]) + L(g, P, [a, b]) \le L( f + g, P, [a, b])$ для любого разбиения $P$ отрезка $[a, b]$. А как дальше?

[EminentVictorians]

Snow1 в сообщении #1620331 писал(а):

$L( f , [a, b]) + L(g, [a, b]) \le L( f + g, [a, b])$.

А что обозначает буква $L$?
$L( f , [a, b]) = \int\limits_{a}^{b}f$ ?

Просто если так, то можно доказать более сильное утверждение, где вместо $\le$ будет $=$ (интеграл же линеен).

[mihaild]

Скорее всего нижняя интегральная сумма.
Snow1, докажите что инфимум суммы не меньше суммы инфимумов.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1620355 писал(а):

Скорее всего нижняя интегральная сумма.

Тогда наверное нижний интеграл Дарбу. Ну, тут в любом случае не очень сложно получается.

[Snow1]

EminentVictorians в сообщении #1620353 писал(а):

А что обозначает буква $L$?

Пусть $x_0 = a, x_1, \dots, x_n = b$ - разбиение отрезка $[a, b]$. Обозначим его через $P$. Тогда

$$L(f, P, [a, b]) = \sum_{j=1}^n (x_j - x_{j-1}) \inf_{[x_{j-1}, x_j]} f.$$

$$L(f, [a, b]) = \sup_P L(f, P, [a, b]).$$

-- 29.11.2023, 15:06 --

mihaild в сообщении #1620355 писал(а):

докажите что инфимум суммы не меньше суммы инфимумов.

Пусть $h(x) = f(x)+g(x)$. По определению $f(x)\ge\inf f, g(x)\ge\inf g$ для любого $x$, а значит $h(x) \ge \inf f + \inf g$, то есть $\inf f + \inf g$ является нижней границей $h$, и по определению $\inf h \ge \inf f + \inf g$.

[EminentVictorians]

Да, теперь понятно.

Snow1 в сообщении #1620368 писал(а):

$$L(f, P, [a, b]) = \sum_{j=1}^n (x_j - x_{j-1}) \inf_{[x_{j-1}, x_j]} f.$$

Это нижняя интегральная сумма, соответствующая разбиению $P$.
А это:

Snow1 в сообщении #1620368 писал(а):

$$L(f, [a, b]) = \sup_P L(f, P, [a, b]).$$

нижний интеграл Дарбу функции $f$.

Надо доказать, что

$$\sup_{P} L(f, P, [a, b]) + \sup_{P} L(g, P, [a, b]) \leqslant \sup_{P} L(f+g, P, [a, b])$$

Пока со всем согласны?

[Snow1]

EminentVictorians в сообщении #1620377 писал(а):

Пока со всем согласны?

да

[EminentVictorians]

Хорошо.

Теперь рассмотрите множества
$A := \{L(f, P, [a, b])| \text{по всем} P\}$,
$B := \{L(g, P, [a, b])| \text{по всем} P\}$,
$C := \{L(f+g, P, [a, b])| \text{по всем} P\}$.


Согласны, что
$L(f, [a, b]) = \sup A$
$L(g, [a, b]) = \sup B$
$L(f+g, [a, b]) = \sup C$

?

-- 29.11.2023, 18:31 --

Я ближайшие часа 2-3 не смогу зайти сюда, поэтому чтобы Вы не ждали, напишу что примерно делать дальше.

Рассмотрим еще и множество $D := A + B$ - сумму по Минковскому.

Возьмем произвольный элемент $L(f, P_1, [a, b]) \in A$ и произвольный элемент $L(g, P_2, [a, b]) \in B$. И еще рассмотрим разбиение $P = P_1 \cup P_2$ (оно, очевидно, будет являться продолжением их обоих). Легко показать, что

$L(f, P_1, [a, b]) \leqslant L(f, P, [a, b])$
$L(g, P_2, [a, b]) \leqslant L(g, P, [a, b])$

Тогда:

$$L(f, P_1, [a, b]) + L(g, P_2, [a, b]) \leqslant L(f, P, [a, b]) + L(g, P, [a, b]) \leqslant L(f+g, P, [a, b]) \leqslant L(f+g, [a, b]) $$

(предпоследнее неравенство Вы, насколько я понял, доказывать умеете)

Это значит, что $ L(f+g, [a, b]) = \sup C$ является верхней гранью для множества $D$, а значит

$$L(f, [a, b]) + L(g, [a, b]) = \sup A + \sup B = \sup (A+B) = \sup D \leqslant \sup C = L(f+g, [a, b])$$

Набирал торопясь, поэтому рекомендую проверить повнимательнее, но идею я думаю передать смог.

[Snow1]

EminentVictorians, большое спасибо! Что-то не сообразил сразу использовать сумму по Минковскому.