Вероятность, доверительный интервал и сила ветра

[EUgeneUS]

Stan2023
Если
1. У Вас есть распределение плотности вероятности для скорости ветра $p(v)$ (откуда Вы его взяли - оставим за скобками, получили от высших сил на каменных скрижалях, например).
2. Измерения скорости ветра являются независимыми случайными величинами с этим распределением.
3. То да, Вы можете найти такую скорость ветра, вероятность превышения которой при однократном измерении будет равняться "заранее заданной небольшой величине".
4. Это называется квантиль (или процентиль, или перцентиль).
5. Квантиль не имеет отношения к доверительным интервалам.

[Stan2023]

Ну слава Богу хоть так.

Всё-таки, какой ответ верный в этой истории с надёжностью/уверенностью/доверием:
а). Вероятность просто другим словом назвали.
б). Вероятность и надёжность - это совсем разные параметры, смотрите не перепутайте.
в). Вероятность и надёжность - это разные параметры, но при таких-то условиях их значения совпадают, а при таких-то они разные.

[EUgeneUS]

Stan2023 в сообщении #1619192 писал(а):

Всё-таки, какой ответ верный в этой истории с надёжностью/уверенностью/доверием:

для Вас:
г). Изучите понятие "доверительный интервал".

И не играйте в угадайку и другие азартные игры (с таким знанием теорвера и матстатистики это чревато проигрышем всего, что можно проиграть )

[sergey zhukov]

Stan2023
Ну, не буду отрицать, что я тут тоже не имею совершенно ясного представления. Вероятность и статистика - это сложные предметы, которые очень часто понимаются неправильно и легко вводят в заблуждение даже в простейших случаях. Хорошая старая книжка на эту тему: Дарелл Хафф "Как лгать при помощи статистики".

Дело в том, что и границы оценочного интервала, и доля всех россиян, которые ... - это все не случайные величины. Говорить о вероятности того, что не случайная величина лежит в пределах не случайного интервала - это как-то странно. Что тут вообще случайно? Случайны наши знания о ситуации. Т.е. мы копнули там-сям и получили в результате какие-то частичные данные о ситуации из случайных областей. На основании этого частичного знания мы можем сгенерировать множество возможных вариантов того, как оно может быть в целом, и каждому из этих вариантов приписать вероятность. По множеству этих вариантов уже можно подсчитать вероятность того, что доля всех россиян лежит в таком-то интервале. Т.е. на множестве этих "виртуальных" вариантов искомая доля россиян - действительно случайная величина. Но в реальности она определена совершенно однозначно.

Т.е. случайно здесь именно то, что нам оказалось известно. Из этого складывается наша уверенность в полноте представления всей ситуации в целом, степень нашей уверенности.

И еще: вы же видите, как сформулирована та заметка, которую вы приводили. "Почему это не совсем корректно...", "Есть разные подходы к определению вероятности...", "Некоторые допускают такой подход...". Т.е. здесь нет непреодолимой границы. Скажем, в байесовском выводе как-раз считается, что речь там идет не о вероятности, а о степени уверенности, т.к. вероятности там приписываются решительно всему. И даже таким событиям, которые не поддаются частотному определению вероятности. Хотя можно называть это и вероятностью.

[Stan2023]

sergey zhukov,

я всегда считал, что теория вероятности - это гениальнейший инструмент для получения адекватных значений параметров, законы изменения которых мы не знаем или знаем, но они так сложны, что применять мы их на практике не можем.

По-моему, true случайных величин в макромире не существует вообще. Зато полно таких, которые мы вполне обоснованно можем считать случайными и применять к ним теорию вероятности. Получая нужные нам результаты. Как, например, моя первая маленькая программа, написанная 20 лет назад, которая считает площадь под функцией методом Монте-Карло. А там же внутри генератор псевдослучайных чисел. Т.е. не совсем случайных. Но чему это мешает? Да ничему. На результат это оказывает такое же влияние, как то, что я потру руку об руку влияет на температуру на планете.

[Combat Zone]

Stan2023 в сообщении #1619133 писал(а):

Когда мы указываем "интервал, в который попадает оцениваемая величина с заданной надежностью" почему это не равно тому, что мы построили "интервал, в который попадает оцениваемая величина с заданной вероятностью"?

Stan2023
Доверительная вероятность (вероятность попадания оцениваемого параметра, например, в доверительный интервал) и надежность - это синонимы.

Когда избегают говорить про доверительную вероятность? Например, когда вы получили оценку границ доверительного интервала по одной реализации. То есть конкретный интервал вещественной прямой. Тут возможна путаница, на которую указал ваш источник: а ведь наш, хоть и неизвестный параметр, он либо заведомо в этом интервале, либо заведомо нет. Иначе: интервал либо накроет истинное значение параметра, либо не накроет. Однозначно. И вероятность в одном случае 1, в другом 0.

Когда речь идет о достаточно большом наборе из выборок или еще проще, об оцениваемой случайной величине (параметре) - эта оговорка снимается за ненадобностью.

На практике это вырождается вот во что:
совершенно нормально написать в качестве надежности $1-\alpha=P\{a\in(\bar x - u_\alpha\sigma/\sqrt n, \bar x + u_\alpha\sigma/\sqrt n)\}$ (не буду расшифровывать, кто есть кто), но как видим, надежность это таки вероятность. И совершенно ненормально - подсчитать по этой формуле и данной выборке все значения и написать при $\alpha= 0.05$ с вероятностью $0.95= P\{a\in(0.7,1.1)\}$. Просто потому, что неизвестное $a$ либо содержится в этом интервале (и тогда вероятность 1), либо нет. И тогда вероятность 0. Как бы то ни было, к вероятности попадания истинного значения в интервал это не имеет никакого значения, слишком мало реализаций состоялось, чтобы о чем-то судить.

Что из этого следует. Не надо в ответах к таким задачам писать букву $P...=0.95$. Просто указывать интервал.

В качестве дополнения.

PAV в сообщении #220242 писал(а):

тут есть два момента. Во-первых, осознайте, что математическое ожидание случайной величины может даже и близко не лежать к тем значениям, которые она может принимать. И второе: 95%-ный доверительный интервал означает следующее. Вы - исследователь, который получил рабочую (случайную) выборку и построил по ней некоторый доверительный интервал для оценки некоторой характеристики генеральной совокупности. Эта оценка является случайной, причем источник этой случайности - только в выборе этой самой рабочей выборки. Сама генеральная совокупность и оцениваемая характеристика случайными не являются.
Ваш доверительный интервал может накрыть истинное значение характеристики или не накрыть. Второй случай означает, что Вы совершили ошибку.
Теперь представьте себе, что кроме Вас эту же задачу решает еще тысяча независимых исследователей. Все они оценивают ту же самую генеральную совокупность и одинаковое (но всем неизвестное) значение характеристики. Но при этом рабочие выборки у них всех получены случайно и независимо друг от друга, поэтому у всех разные доверительные интервалы. Так вот: если все они договорились строить 95%-ные интервалы, то это обозначает, что в среднем на каждую сотню исследователей будет 95 попаданий и 5 ошибок. Или, возвращаясь к одному исследователю, вероятность ошибки для него составляет 5%. Но картинка с тысячей исследователей мне всегда представляется более наглядной и понятной.

[Stan2023]

Combat Zone,

Видимо, "корень" моего непонимания лежит в том, что здесь имеют место вероятности разных событий. Но в чем их разница уловить пока не получается.

То, что Вы написали правильно и верно. Неизвестная величина действительно может попасть в интервал (вероятность 1), а может не попасть (тогда 0). Но ведь получается, что каким бы вообще не был интервал, она туда может попасть или не попасть. То бишь, возьми я интервал от минус 1 до плюс 1 она туда попадет или не попадет. Возьми я интервал от минус 1000 до плюс 1000 она туда попадет или не попадет. Но очевидно же, что вероятность величине попасть в минус 1000 до плюс 1000 будет больше, чем в от минус 1 до плюс 1.

[Combat Zone]

Потому что границы интервала - случайные величины. Только в этом случае возникает нетривиальная вероятность.

[sergey zhukov]

Stan2023
В одном случае случайная величина плавает внутри фиксированного интервала. В другом случае случайный интервал плавает вокруг фиксированной величины. Мы все равно можем говорить про вероятность одного быть в пределах другого. Т.е. можем говорить "вероятность того, что правая граница интервала окажется больше истинной величины, а левая - меньше, равна 0,95". Но тогда и нужно относится к границам интервала, как к случайным величинам (некоторую реализацию которых мы имеем на каждой выборке), а не как как к фиксированным числам.

[Stan2023]

Спасибо всем!
Надеюсь, что этот вопрос у меня когда-нибудь у меня устаканится.

Ну и картинка, пусть будет)

[EUgeneUS]

Stan2023 в сообщении #1619280 писал(а):

Ну и картинка, пусть будет)

Ну, как и писали выше, нужно четко понимать, что подразумевается под вероятностью в данном случае. Вопрос нетривиальный, но выше уже подробно обсуждался и разъяснялся.

[Combat Zone]

Stan2023 в сообщении #1619280 писал(а):

Ну и картинка, пусть будет)

Stan2023
Видимо, у меня проблемы. Я не понимаю, какова цель темы. Видимо, вы знаете то, что спрашиваете и решили проверить, знаем ли мы. Ну и рассказать, если вдруг не знаем. Иначе цель всех этих картинок и скринов не очень ясна.
Уровень доверия и уровень надежности тоже синонимы.
Спасибо за картинку, красивая.

[Stan2023]

Цель темы - разобраться в вопросе, который понять не могу.

EUgeneUS,
я осознал, что Вы имели в виду, когда говорили про количество выборок. Собственно поэтому решил написать что-то ещё. Благодарю Вас за терпение.

Но картина никак пока не складывается.

Я понимаю теперь, что когда я делаю точечную оценку мат ожидания генеральной совокупности по одной выборке - у меня не должен поворачиваться язык говорить "вероятность" потому, что количество наблюдений равно 1 и к бесконечности не стремится.

Но разве я вообще делаю такую оценку в той постановке задачи, которую имею (про вероятность того, что сила ветра будет меньше такого-то значения).

При этом не даёт покоя:
1. То, что площадь под кривой распределения вероятности есть вероятность и такая площадь может и должна интерпретироваться как вероятность.
2. Среднее из средних равно среднему. Это значит, что 100 каких-то замеров я могу получить как 1 выборку из 100, 2 выборки по 50, 4 выборки по 25 и т.д., т.е. размер и количество выборок не такая уж догма.

[sergey zhukov]

Stan2023
Да просто неправильно говорить о вероятности фиксированного числа попасть в фиксированный интервал, как это сделано в третьем утверждении. Сколько бы выборок вы ни сделали. Если нет ничего случайного, то нет и вероятности.

Вероятность - это многократные испытания. Так она вычисляется. Как вы будете проводить такие испытания для утверждения выше? Ясно, что никак. Точнее, все они дадут один и тот же результат, и вероятность окажется равна $0$ или $1$.

Как получается цифра 95%? Об этом сказано в первом утверждении. Там просто дано ее определение. Так она получена и вот это она означает. Если мы много раз будем брать выборку такого-то объема, так-то ее анализировать, то в 95% случаев наш интервал будет включать истинную долю. И заметим: это не интервал (0,1;0,24), а в каждом случае это разный, случайный интервал. Именно поэтому тут и можно говорить о вероятности, т.к. здесь мы имеем случайный интервал. При таком-то объеме выборки и таком-то методе ее анализа вычисленный так-то интервал (случайная величина) в 95% случаев накроет истинную долю. Тут не сказано, какой конкретно интервал это сделает, потому, что он случайный. (0,1; 0,24) - это просто одна из его реализаций по одной выборке.

[Stan2023]

sergey zhukov,
я не думаю, что для "вероятности" нужна "случайность".

Я сильно сомневаюсь в том, что даже монетка, подброшенная мной (человеком) падает на орла/решку случайно, а тем более, если бы ее подбрасывал аппарат. Однако, я полностью уверен, что рассчитать куда она упадет с применением физики сложнейшая задача (пусть даже и потому, что нужно очень точно знать силу "подброса", сопротивление воздуха, массу, моменты инерции и т.д. и т.п.). Теория вероятности позволяет оценить это. И очень легко. Но приближенно. Чего во многих практических случаях достаточно.

Причем, я уверен, что монетку бесконечное число раз тоже никто не кидал. Но тем не менее вероятность выпадения орла/решки всем известна.

При этом, с вероятностью нужно быть предельно аккуратным. Познакомившись с парадоксом Монти Холла, я стараюсь везде проверять - нет ли у меня в задаче "открытой двери", которая изменит всё и вся.