Вероятность, доверительный интервал и сила ветра

[Stan2023]

Добрый день, уважаемые участники!

Прошу помощи в "вероятно" детском вопросе, в котором, впрочем, я запутался окончательно.

Есть ГОСТ 32579.1-2013 "Краны Грузоподъемные. Принципы формирования расчетных нагрузок и комбинаций нагрузок".
Среди всего прочего, на кран действует ветровая нагрузка. Для "адекватного" учета ветровой нагрузки предусмотрен коэффициент K, зависящий от числа лет эксплуатации крана. В ГОСТ есть таблица с четырьмя значениями:



Логика применения коэффициента примерно такая:
1. Ветер случайная величина.
2. Расчетная скорость ветра принимается исходя из предустановленного доверительного интервала (например, 95%).
3. Кран рассчитывается на расчетную скорость ветра.
4. Кран эксплуатируется и в один ветреный день может быть повален (если скорость ветра превысит расчетную), но "уверенность", что такой день настанет небольшая (остаточный риск).

Теперь возьмем два крана - один будет эксплуатироваться 5 лет, второй - 50 лет. Вроде бы кажется, что вероятность случится урагану, который повалит кран, в течение 50 лет выше, чем в течение 5 лет. Соответственно, в расчетную нагрузку увеличим в 1,51 раза.

Скажите пожалуйста, нет ли в таких рассуждениях ошибки игрока (ложного вывода Монте-Карло)? Растет ли с течением времени вероятность попасть под ураган, которого не было уже N-лет или нет (как не растет вероятность выпадения красного на рулетке сколько бы раз перед этим не выпадало черное)?

Спасибо большое!

[Dmitriy40]

Stan2023
В каждый конкретный год - вероятность не растёт. Но вот за интервал наблюдений (эксплуатации) - как раз растёт. Как и растёт вероятность выпасть красному хотя бы раз за 10,25,50 последовательных бросков. Сравните: $p_n=1-2^{-n}, p_5\approx0.97, p_{10}\approx0.999, p_{25}\approx0.99999997, p_{50}\approx0.999999999999999$.

Плюс наверное учтена разная частотность разных по силе ураганов, чем сильнее, тем реже. И за 5 лет достаточно сильный вряд ли случится хотя бы раз, а вот за 50 ...

[sergey zhukov]

Stan2023
Конечно, вероятность получить ураган сегодня не зависит от того, когда он был в последний раз (правда, это только для независимых событий верно. Скажем, если один ураган может "катализировать" или "разрядить" следующий, то это уже не так).

Тут речь, видимо, о том, что вероятность случиться урагану в течение всех 50 лет выше, чем в течение всех 5 лет. Это, конечно, верно.

[Stan2023]

Dmitriy40 в сообщении #1619070 писал(а):

Stan2023
В каждый конкретный год - вероятность не растёт. Но вот за интервал наблюдений (эксплуатации) - как раз растёт. Как и растёт вероятность выпасть красному хотя бы раз за 10,25,50 последовательных бросков. Сравните: $p_n=1-2^{-n}, p_5\approx0.97, p_{10}\approx0.999, p_{25}\approx0.99999997, p_{50}\approx0.999999999999999$.

Плюс наверное учтена разная частотность разных по силе ураганов, чем сильнее, тем реже. И за 5 лет достаточно сильный вряд ли случится хотя бы раз, а вот за 50 ...

Dmitriy40, спасибо большое!

Вот очевидно, что "вероятность выпасть красному хотя бы раз 10,25,50" растет с количеством бросков.
При этом в любом из этих бросков "вероятность выпасть красному" 0,5. Т.е. не растет.

Получается, у меня в голове такой диссонанс потому, что это вероятности разных событий, так что ли?

[sergey zhukov]

Stan2023
Тут у нас вероятность получить событие за какой-то срок. Она тем выше, чем больше этот срок. "Получить сегодня" (за один бросок) - это короткий срок. За пять лет (10 бросков) - больше (получить событие в любой из 10 бросков). За 50 лет (100 бросков) - еще больше.

Т.е. можно сказать, что это вероятности событий "один ураган за один день", "один ураган за пять лет", "один ураган за 50 лет". Все эти вероятности не зависят от того, где на временной оси мы возьмем эти интервалы времени, но вероятность первого мала, второго выше, последнего - еще выше.

[Dmitriy40]

Stan2023 в сообщении #1619075 писал(а):

Получается, у меня в голове такой диссонанс потому, что это вероятности разных событий, так что ли?

Да. Спутали вероятности единичного события и цепочки таких событий (которую тоже можно назвать "событием" (выпадения цепочки) в смысле анализа исходов). Ведь отсутствие урагана за N лет - это выпадение цепочки длиной N одинаковых событий "урагана нет" (N чёрных).

Ну и напомню что может учитываться и сила урагана (сильные - реже), но в этом совершенно не уверен.

-- 21.11.2023, 15:17 --

sergey zhukov в сообщении #1619077 писал(а):

Т.е. можно сказать, что это вероятности событий "один ураган за один день", "один ураган за пять лет", "один ураган за 50 лет".

Нет, не один, а один или более (минимум один). До этого было правильнее, а тут лишь запутали.

[Stan2023]

Dmitriy40 в сообщении #1619082 писал(а):

Да. Спутали вероятности единичного события и цепочки таких событий (которую тоже можно назвать "событием" (выпадения цепочки) в смысле анализа исходов).

Ну и напомню что может учитываться и сила урагана (сильные - реже), но в этом совершенно не уверен.
...

Dmitriy40, спасибо!

Сила урагана (сильные реже) однозначно учитывается этим всем.

Любопытно, что у нас этот вопрос задан через число лет эксплуатации, а у буржуев - через интервал повторяемости.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Stan2023 в сообщении #1619084 писал(а):

Любопытно, что у нас этот вопрос задан через число лет эксплуатации, а у буржуев - через интервал повторяемости.

Да, тоже наблюдал такое: у них более математически корректно, у наших же более по рабоче-крестьянски, более понятно среднему инженеру.
А то напишешь нашему "ураганы каждые 25 лет", так он и будет 24 года после вчерашнего не ждать следующего и эксплуатировать небезопасные методы и технику. А напишешь "каждые 50 лет" - "ой, да я (или кран) не доживу".
Я конечно не про лично Вас, бывают инженеры или вообще не выучившие математику, или забывшие почти всю сразу после экзаменов. Вот для таких и пишут важные вещи типа ГОСТов более так сказать приземлённо, в прикладном смысле, поменьше думать, брать готовые коэффициенты и считать, да ещё и чтоб формулы попроще. Но конечно это все сугубо ИМХО и вообще пессимизм.

[sergey zhukov]

Dmitriy40
Да, хотя бы один, конечно. Это нас интересует, а не ровно один.

[Stan2023]

sergey zhukov, Dmitriy40!

Спасибо! Вы действительно очень помогли!

Я позволю задать ещё один вопрос, который меня давно мучает:

Площадь под функцией плотности вероятности случайной величины есть вероятность попадания случайной величины в некий интервал. Это с одной стороны.

Со второй стороны есть выборка. По выборке определяем относительные частоты, строим гистограмму, полигон частот. Видим что полигон частот как две капли воды похож, скажем, на нормальное распределение. Считаем, что случайная величина подчиняется этому распределению. Вместо полигона частот строим функцию плотности вероятности. Откладываем значения некоторого доверительного интервала. Считаем площадь под графиком. И тут оказывается, что эта площадь уже не вероятность, а что-то другое.

Как например, вот здесь:


Почему некорректно (неправильно) интерпретировать это так, что с вероятностью 95% значение случайной величины будет лежать внутри доверительного интервала? Как и самое главное когда площадь под графиком плотности распределения превращается из вероятности в "уверенность", "доверие" и т.п.?

[Dmitriy40]

Моих знаний для ответа не хватает, сорри. Ждём других участников.

[sergey zhukov]

А что такое $S$ на этой картинке? Разве не вероятность попасть в область $-Z,^* Z^*$? Вы как понимаете $S$? Я предполагаю, что площадь под всей этой кривой нормирована (т.е. равна 1)

-- 21.11.2023, 18:54 --

Stan2023 в сообщении #1619105 писал(а):

И тут оказывается, что эта площадь уже не вероятность, а что-то другое.

Где это так оказывается? По моему, площадь по прежнему отражает вероятность.

[Stan2023]

Во многих источниках.

Более-менее объяснено, например:



Картинка распределения оттуда же была.

[EUgeneUS]

Stan2023 в сообщении #1619105 писал(а):

Откладываем значения некоторого доверительного интервала.

У Вас неверные представления, что такое доверительный интервал.

Для простоты предположим, что есть случайная величина $B$, которая с вероятностью $P(B=1) = 0.5, P(B=0) = 0.5$ (то есть такая честная монетка, где орел - нОль, а рЕшка - единица).
Тогда можем точно посчитать математическое ожидание $E(B) = 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0 = 0.5$

А теперь представим, что мы не знаем, что монетка честная. Тогда стоИт вопрос - как оценить матожидание?
Всё, что нам известно, это некоторая выборка конечного размера.
Хорошая оценка матожидания - среднее по выборке.
Кинули пять раз, получили $\left\lbrace 01010 \right\rbrace$, среднее $\tilde{E}= 0.4$
Можем ли мы считать, что $0.4$ - это и есть матожидание? Нет, не можем. Так как матожидание равно $0.5$, а такую выборку получить вполне вероятно.

Или даже так, получили выборку $\left\lbrace 11111 \right\rbrace$, среднее $\tilde{E}= 1$. И что нам думать, про "честность" монетки? Получить такую выборку при честной монетке $P(1111) = 1/2^5 \approx 3%$. Не так уж мало.

Так вот
а) когда мы делаем оценку матожидания случайной величины в виде среднего по выборке (или какого-то другого статистического параметра) - это называется точечная оценка.
б) но мы можем более сложными методами посчитать интервальную оценку: указать интервал, в который попадает оцениваемая величина с заданной надежностью.

Почитайте книгу Владимир Савельев. "Статистика и котики". А там уже можно будет переходить и к учебникам по теорверу и матстатистике

[Stan2023]

Я обязательно прочитаю "Статистика и котики", но все же.

Когда мы указываем "интервал, в который попадает оцениваемая величина с заданной надежностью" почему это не равно тому, что мы построили "интервал, в который попадает оцениваемая величина с заданной вероятностью"? А другими словами - почему площадь под графиком стала равна некой "надежности", но не вероятности.