Признаки Коши и Даламбера сходимости рядов

[Gh_Shark]

Здравствуйте!
Учебник В.А. Зорич математический анализ 1 часть.

1) Из рассуждений в признаке Коши и Даламбера я сделал вывод, что члены исследуемого ряда $a_n$ могут быть отрицательны, т.к. рассматривается ряд $\left\lvert a_n \right\rvert$. Однако в Википедии при такой же формулировке и доказательстве явно указывают на неотрицательность членов. Верна ли моя догадка? Ссылка на Википедию: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 1%80%D0%B0

2) В признаке Коши говорится о верхнем пределе: $\overline{\lim}{\sqrt[n]{\left\lvert a_n\right\rvert}}$. Однако в признаке Даламбера автор использует обычный, а не верхний предел, хотя, на мой взгляд, использование верхнего никак не меняет доказательства. Я что-то упускаю?

[lel0lel]

Вы правильное заключение сделали. Лучше пользоваться https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ratio_test
Часто эти признаки формулируют вовсе без верхнего, нижнего пределов, а с обычным пределом. Но тогда они не работают, в случае, когда предел не существует. Доказательство всё же изменится, хотя бы тем, что появится случай, в котором нижний предел меньше, а верхний больше единицы.

[RIP]

Gh_Shark в сообщении #1616901 писал(а):

2) В признаке Коши говорится о верхнем пределе: $\overline{\lim}{\sqrt[n]{\left\lvert a_n\right\rvert}}$. Однако в признаке Даламбера автор использует обычный, а не верхний предел, хотя, на мой взгляд, использование верхнего никак не меняет доказательства. Я что-то упускаю?

Доказательство в случае расходимости не работает. Иногда признак д’Аламбера формулируют через верхний и нижний пределы: если $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert<1$, то ряд сходится (абсолютно), а если $\varliminf\limits_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert>1$, то расходится.

[Gh_Shark]

Разобрался. Спасибо за помощь!