похожие кубы

[Doctor Boom]

Пусть есть $n$- мерный куб, состоящий из единичных гиперкубов в количестве $2^n$. Каждый единичный гиперкуб в гиперкубе может быть закрашенным или нет. Два гиперкуба называются похожимы, если один из них может быть получен из другого путем поворотов (без отражений). Сколько существует непохожих гиперкубов при
а) $n=3$
b) $n=4$
c) В зависимости от произвольного $n$

[gris]

для прояснения попробую решить задачу для меньших $n$. Насколько я понимаю, куб можно представить в виде многомерной матрицы из нулей и единиц размером $2\times 2 \times ... \times 2$. Для небольших размерностей непохожие кубы можно просто нарисовать:
n=1: k=3
|0 0|, |1 0|, |1 1|

n=2: k=7
|0 0| |1 0| |1 1| |1 0| |1 1| |1 1| |1 1|
|0 0| |0 0| |0 0| |0 1| |1 0| |0 1| |1 1|

Вроде бы правильно понял

[gris]

Ой, переоценил вращение при $n=1$ и недооценил при $n=2$
n=1: k=4
|0 0|, |1 0|, |0 1|, |1 1|

n=2: k=6
|0 0| |1 0| |1 1| |1 0| |1 1| |1 1|
|0 0| |0 0| |0 0| |0 1| |1 0| |1 1|

из непохожих кубов с помощью поворотов можно получить все
$n=1: 1+1+1+1=4=2^2$
$n=2: 1+4+4+2+4+1=16=2^4$ различных неподвижных кубов.
Напрашивается рассмотреть по отдельности $0,1,...,n$ нулей в матрице и посмотреть, можно ли обойтись только вращениями. Чего-то в кубе с ребром $2$ и не видно необходимости отражений.

[Doctor Boom]

gris
Пока все правильно
Для $n=3$ там тоже не сложно, если проявить хитрость

[Утундрий]

$k(3)=9$

[gris]

Утречком поиграл в кубики. Наверное, решение задачи лежит в теории конечных групп. А я решил посмотреть, как это выглядит в натуре. Надеюсь, Doctor Boom не станет прописывать мне успокоительное
Наспех накидал программку на PARI/GP. Пока для двумерного случая. Кубик кодирую числом от 0 до 15. От верхнего левого по часовой стрелке. Кубики собраны в множество. Беру первый, кручу-верчу и все получившиеся от поворотов из множества выкидываю. Беру второй и далее, пока не дойду до конца множества. Оставшиеся кубики символизируют классы фактормножества по похожести как отношению эквивалентности.
Вот результат:
[0, 1, 3, 5, 7, 15]
То есть
n=2: k=6
|0 0| |0 0| |0 0| |0 1| |0 1| |1 1|
|0 0| |1 0| |1 1| |1 0| |1 1| |1 1|
похоже

(code)

{n=2; n2=2^n; k=2^n2;
s=Set(vector( k,i,i-1));
i=1;
while( i<#s,
  j=s[i]; ij=j;
  for( jjj=1,3, 
    ij=ij\2+ij%2*8; 
    if(ij!=j,s=setminus(s,Set(ij))); 
  );
  i++;
);
print(s);
}

[Dendr]

Для трехмерного у меня получилось
$2(1+1+3+3)+7=23$

Здесь слагаемые обозначают количество непохожих, соответственно, без закрашенных, с одним, двумя, тремя, удвоение для учета сопряженных, и наконец непохожие с половиной закрашенных.

Аналогичная сумма для меньших измерений:
$2(1)+1=3$ в одномерное случае
$2(1+1)+2=6$ в двумерном.

Как-то из перебора обобщение не получается. Попробую подумать, можно ли ввести функцию поворота...

[Null]

Dendr в сообщении #1618681 писал(а):

Для трехмерного у меня получилось
$2(1+1+3+3)+7=23$

Да $23=\frac{2^2\times 6+2^4\times 3+2^4\times 8+2^4\times 6 +2^8\times 1}{24}$(Лемма Бёрнсайда)

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1618663 писал(а):

$k(3)=9$

Так, это я для кубика Рубика посчитал. Зачем-то.

[Doctor Boom]

Dendr в сообщении #1618681 писал(а):

Для трехмерного у меня получилось
$2(1+1+3+3)+7=23$

Верно