Комбинаторика

[Stensen]

Доброго времени суток. Уважаемые, помогите решить.
В аудитории 25 студентов.
1.Какова вероятность того, что хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают?
2.При каком числе студентов данная вероятность не меньше 0,95

1.Здесь понятно. Найдем вероятность несовпадений и вычтем из 1: $\bar{p}=\frac{A^{25}_{365}}{25^{365}}$, тогда $p=1-\bar{p}$,
где: A - число размещений из $356$ по $25$
$\bar{p},p$ вероятности несовпадения и совпадения соответственно.

2.Здесь не понятно. Вероятность несовпадений $\bar{p}= 1-0,95=0,05$. А как найти количество студентов $m$?
Правильно я понимаю, что нужно решить это уравнение $\frac{A^m_{365}} {m^{365}}=0,05$ ? Если да, то как его решить?

[mihaild]

Stensen в сообщении #1618468 писал(а):

Правильно я понимаю, что нужно решить это уравнение $\frac{A^m_{365}} {m^{365}}=0,05$ ?

Нет (и у него скорее всего решений нет).
Пусть $f(m)$ - вероятность совпадения в группе из $m$ студентов. Вам нужно решить систему $\begin{cases} f(m) \geqslant 0.95 \\ f(m - 1) < 0.95 \end{cases}$

[Geen]

Stensen в сообщении #1618468 писал(а):

Найдем вероятность несовпадений

Вы уверены что правильно написали формулу?

[Stensen]

Geen в сообщении #1618473 писал(а):

Stensen в сообщении #1618468 писал(а):

Найдем вероятность несовпадений

Вы уверены что правильно написали формулу?

Число всех благоприятных для несовпадений исходов - это число размещений из 365 по числу студентов,
Число всех исходов это число размещенй с повторами: 365 возможных дней у каждого студента, поэтому $365^{25}$ . Должно быть так. Выше, похоже, был не прав.
Тогда:

$\bar{p}=\frac{A^{25}_{365}}{365^{25}}$, так верно?

-- 17.11.2023, 17:16 --

Считаем $f(m)=1-\frac{A^{m}_{365}}{365^m}$ , подставляя в систему и упрощая, получим:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{A^{m}_{365}}{365^m} \leqslant 0.05 \\ \\ \frac{A^{m}_{365}}{365^m}>0.05 \\ \end{array} \right.$ Упростил далее, но пока не понимаю как решать. Может не ту функцию подставляю? Или по другому надо?

[Sdy]

Stensen в сообщении #1618477 писал(а):

Упростил далее, но пока не понимаю как решать.

На Википедии есть много интересного об этой задаче, в том числе об одном методе получения верхней оценки на эту вероятность.

Если хотите сами подумать, то нужно вспомнить, как связаны $1+x$ и $e^x$ и упростить выражение $\overline{p(m)}$ так, чтобы можно было этим воспользоваться.

[Stensen]

Sdy в сообщении #1618486 писал(а):

Stensen в сообщении #1618477 писал(а):

Упростил далее, но пока не понимаю как решать.

На Википедии есть много интересного об этой задаче, в том числе об одном методе получения верхней оценки на эту вероятность.

Если хотите сами подумать, то нужно вспомнить, как связаны $1+x$ и $e^x$ и упростить выражение $\overline{p(m)}$ так, чтобы можно было этим воспользоваться.

Спасибо, буду работать

[dgwuqtj]

Stensen в сообщении #1618477 писал(а):

Упростил далее, но пока не понимаю как решать.

Такие вещи проще всего решать перебором, левая часть неравенств должна возрастать с ростом $m$. Если хочется побыстрее (или ответ действительно большой), то перебором значений вида $m = 2^k$ находим оценку на ответ сверху, а дальше обычный двоичный поиск.