2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 00:44 


05/11/23
10
Здравствуйте.

Подскажите, пожалуйста, идеи к решению. У меня нет вообще никаких. Непонятно даже, в какую сторону смотреть.

$(x - 1)^{(x + 1)} + (x + 1)^{(x - 1)} = x^x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 02:07 


13/01/23
307
Буквально в любую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 02:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
f2498985 в сообщении #1617970 писал(а):
$(x - 1)^{(x + 1)} + (x + 1)^{(x - 1)} = x^x$
Сумма четных слагаемых не может быть нечетным числом $+$ гипотеза Била, которую никто еще не опроверг. А маленькие решения уравнения от одной переменной можно и подобрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 03:04 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
Andrey A в сообщении #1617980 писал(а):
Сумма четных слагаемых не может быть нечетным числом
Вроде б, про натуральность $x$ никто в условии не говорил

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 03:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Оно в заглавии:
f2498985 в сообщении #1617970 писал(а):
Найти все натуральные решения уравнения

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 09:12 
Заслуженный участник


07/08/23
1396
Просто докажите, что $(x - 1)^{x + 1} > x^x$ для достаточно больших $x$ с явной оценкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 19:57 


14/11/21
155
Для нечетных $n$ младший коэффициент полинома $p(x)=(x-1)^{n+1}+(x+1)^{n-1}-x^n$ равен $2\ne n$, старший равен единице. По теореме о рациональных корнях полинома, целые корни могут быть только среди целочисленных делителей 2.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: HungryLion


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group