Доля чисел с чётным числом простых делителей

[KhAl]

Правда ли, что доля чисел на отрезке $[1; n]$, имеющих чётное число простых делителей, стремится к $\frac12$?

Правда ли, что $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\rho(n)}{n} = 0$, где $\rho(n) = \begin{cases}1 \text{,\quad если число простых делителей }n\text{ чётно;} \\ -1 \text{ иначе.}\end{cases}$

[Null]

$\rho(n)$ - мультипликативна и ряд сводиться к $\prod\limits_{p}^{\infty}\frac{p-2}{p-1}=0$

[RIP]

Это называется функцией Лиувилля (https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_function). Стандартное обозначение: $\lambda(n)$. Оба утверждения верны.

Null в сообщении #1617633 писал(а):

$\rho(n)$ - мультипликативна и ряд сводиться к $\prod\limits_{p}^{\infty}\frac{p-2}{p-1}=0$

Ряд не сходится абсолютно, поэтому непосредственно применять формулу нельзя. Нужно перейти к пределу при $s\to1+0$ в формуле

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda(n)}{n^s}=\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$$

Основная проблема — доказать, что ряд сходится при $s=1$.

[Null]

KhAl в сообщении #1617623 писал(а):

число простых делителей

Различных или с учетом повторений?

[RIP]

Null в сообщении #1617640 писал(а):

Различных или с учетом повторений?

В моём ответе я предполагал, что учитываются кратности. Но при любой интерпретации оба утверждения верны.

[KhAl]

RIP, спасибааааа!!

[KhAl]

RIP, там нету ссылооооок!!!

[RIP]

Можно посмотреть, например, К. Прахар, «Распределение простых чисел» (1967), гл. III, § 5, теорема 5.2 — это про функцию Лиувилля (сегодня известна оценка получше, есть в Википедии — оценка для $L_{\alpha}$). Если без учёта кратностей, то можно доказать так же, как теорему 5.1 оттуда же, используя равенство $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\omega(n)}}{n^s}=\frac{f(s)}{\zeta(s)}$, где

$$f(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{p^{-2s}}{(1-p^{-s})^2}\right)$$

голоморфна и ограничена при $\operatorname{Re}(s)\geqslant1/2+\varepsilon$.
Сходимость ряда выводится из этих оценок с помощью суммирования по частям, а значение суммы ряда — через предельный переход

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\rho(n)}{n}=\lim_{s\to1+0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\rho(n)}{n^s}.$$

[KhAl]

RIP, спасибо. А для предельного перехода, вроде, нужна равномерная по $s \in [1;2]$ сходимость последнего ряда? Или можно обойтись?

[RIP]

KhAl в сообщении #1617779 писал(а):

А для предельного перехода, вроде, нужна равномерная по $s \in [1;2]$ сходимость последнего ряда?

Да. Она есть (признак Абеля).