2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение13.11.2023, 02:48 
Правда ли, что доля чисел на отрезке $[1; n]$, имеющих чётное число простых делителей, стремится к $\frac12$?

Правда ли, что $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\rho(n)}{n} = 0$, где $\rho(n) = \begin{cases}1 \text{,\quad если число простых делителей }n\text{ чётно;} \\ -1 \text{ иначе.}\end{cases}$

 
 
 
 Re: Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение13.11.2023, 07:49 
$\rho(n)$ - мультипликативна и ряд сводиться к $\prod\limits_{p}^{\infty}\frac{p-2}{p-1}=0$

 
 
 
 Re: Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение13.11.2023, 08:51 
Аватара пользователя
Это называется функцией Лиувилля (https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_function). Стандартное обозначение: $\lambda(n)$. Оба утверждения верны.

Null в сообщении #1617633 писал(а):
$\rho(n)$ - мультипликативна и ряд сводиться к $\prod\limits_{p}^{\infty}\frac{p-2}{p-1}=0$
Ряд не сходится абсолютно, поэтому непосредственно применять формулу нельзя. Нужно перейти к пределу при $s\to1+0$ в формуле
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda(n)}{n^s}=\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$$
Основная проблема — доказать, что ряд сходится при $s=1$.

 
 
 
 Re: Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение13.11.2023, 09:03 
KhAl в сообщении #1617623 писал(а):
число простых делителей
Различных или с учетом повторений?

 
 
 
 Re: Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение13.11.2023, 09:15 
Аватара пользователя
Null в сообщении #1617640 писал(а):
Различных или с учетом повторений?
В моём ответе я предполагал, что учитываются кратности. Но при любой интерпретации оба утверждения верны.

 
 
 
 Re: Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение13.11.2023, 14:29 
RIP, спасибааааа!!

 
 
 
 Re: Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение13.11.2023, 16:18 
RIP, там нету ссылооооок!!!

 
 
 
 Re: Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение13.11.2023, 22:03 
Аватара пользователя
Можно посмотреть, например, К. Прахар, «Распределение простых чисел» (1967), гл. III, § 5, теорема 5.2 — это про функцию Лиувилля (сегодня известна оценка получше, есть в Википедии — оценка для $L_{\alpha}$). Если без учёта кратностей, то можно доказать так же, как теорему 5.1 оттуда же, используя равенство $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\omega(n)}}{n^s}=\frac{f(s)}{\zeta(s)}$, где
$$f(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{p^{-2s}}{(1-p^{-s})^2}\right)$$
голоморфна и ограничена при $\operatorname{Re}(s)\geqslant1/2+\varepsilon$.
Сходимость ряда выводится из этих оценок с помощью суммирования по частям, а значение суммы ряда — через предельный переход
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\rho(n)}{n}=\lim_{s\to1+0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\rho(n)}{n^s}.$$

 
 
 
 Re: Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение13.11.2023, 22:44 
RIP, спасибо. А для предельного перехода, вроде, нужна равномерная по $s \in [1;2]$ сходимость последнего ряда? Или можно обойтись?

 
 
 
 Re: Доля чисел с чётным числом простых делителей
Сообщение14.11.2023, 08:10 
Аватара пользователя
KhAl в сообщении #1617779 писал(а):
А для предельного перехода, вроде, нужна равномерная по $s \in [1;2]$ сходимость последнего ряда?
Да. Она есть (признак Абеля).

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group