Посоветуйте функцию

[x-code]

Простенький вопрос, думаю те кто постоянно в математике сразу смогут подсказать:)
Для одного алгоритма потребовалось добавить простейшую регулировку нелинейности.
Пусть все происходит в диапазоне от $0$ до $1$
Необходима некая функция $y=f(x,k)$,
где $k$ это "коэффициент нелинейности", пусть он изменяется в диапазоне от $-1$ до $+1$.
Всегда должно быть $f(0, k)=0$ и $f(1, k)=1$ для любых $k$
Для коэффициента $k=0$ должна быть прямая $f(x)=x$
в граничных значениях $k$:
для $k=-1$ должно быть $y=0$, за исключением точки $x=1$ где $y=1$
для $k=+1$ должно быть $y=1$, за исключением точки $x=0$ где $y=0$
промежуточные значения $k$ красиво изгибают прямую вверх-влево или вниз-вправо.
вопрос - какая функция $f(x,k)$ удовлетворяет этим требованиям?

Думаю тут коэффициент $k$ должен участвовать в показателе степени, например $y=x^2$ это $k=2$, $y=\sqrt{x}$ это $k=1/2$, и на основе этого можно что-то придумать: трансформировать $k$ из диапазона от бесконечности до нуля в диапазон от $1$ до $-1$, и т.д. Но может уже есть какое-то стандартное общеизвестное решение?

[Dmitriy40]

Похоже на степенную если не требовать симметричности, посмотрите про Гамма-коррекция.

[EUgeneUS]

Бета-распределение и подобрать параметры (при $\alpha=\beta=1$, например, будет равномерное распределение)

[Dedekind]

Пожалуй, самая простая из тех, что мне встречались:

$$f(x)=\dfrac{kx}{k-x+1}$$

https://dinodini.wordpress.com/2010/04/ ... functions/

Правда тут $k$ может изменяться от $-\infty$ до $-1$ и от $0$ $+\infty$.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[EUgeneUS]

Dedekind в сообщении #1617715 писал(а):

Правда тут $k$ может изменяться от $-\infty$ до $-1$ и от $0$ $+\infty$.

По этим мотивам можно предложить функцию: $f(t) = \frac{t(1+m)}{2tm+(1-m)}$, $m \in (-1, 1)$
Если функцию прибить гвоздями на концах: $f(0) = 0, f(1)=1$, то будет нормально работать и при $m = \pm 1$

Если нужна симметрия по параметру, то есть чтобы функции c одинаковыми по модулю, но разными по знаку параметрами были симметричны относительно $y=x$, то можно предложить такой вариант:

1. $m \in [0, 1), f(t) = \frac{t}{1-m(1-t)}$
2. $m \in (-1, 0), f(t) = \frac{t(1+m)}{1+tm}$

-- 15.11.2023, 14:24 --

x-code в сообщении #1617705 писал(а):

Думаю тут коэффициент $k$ должен участвовать в показателе степени, например $y=x^2$ это $k=2$, $y=\sqrt{x}$ это $k=1/2$, и на основе этого можно что-то придумать: трансформировать $k$ из диапазона от бесконечности до нуля в диапазон от $1$ до $-1$, и т.д.

Этот вариант:

1. $k \in [0, 1), f(x) = x^{\frac{1}{1-k}$
2. $k \in (-1, 0), f(x) = x^{1+k}$

[EUgeneUS]

Ещё вот такой огород можно сгородить:

$f(x) = x^{a^{\tg (\frac{\pi}{2}k)}}$

$a > 1$ - фиксированный параметр, значение выбирается из удобства.
Вроде бы всем требования удовлетворяет, включая симметрию по параметру $k$.