задача по анализу с мехматской олимпиады

[Bober2]

Добрый день, уважаемые участники форума! Я наткнулся на следующую задачу:
Существует ли такая постоянная C, что для любой непрерывно дифференцируемой на прямой действительной функции f, имеющей вторую производную, определенную всюду, кроме, может быть, конечного числа точек, условия $|f(x)|\leq 1$ для всех $x\in (-\infty,\infty)$ и $|f(x)f''(x)|\leq 1$ во всех точках существования f''(x) влекут неравенство $|f'(x)|\leq C$ для всех $x\in (-\infty,\infty)$?
Я пока что дошёл до того, что если заменить условие, что вторая производная может быть не определена в конечном числе на то, что вторая производная определена почти всюду, то можно привести контр-пример (это более-менее очевидно). Для исходной задачи контр-примера не нашёл, поэтому склоняюсь к тому, что условие задачи выполняется. Буду благодарен, если кто-нибудь подбросит идейку относительно дальнейшего решения.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе. В олимпиадном разделе размещаются задачи, решение которых известно топикстартеру, но он предлагает другим участникам попробовать свои силы в поисках этого решения.

[Vince Diesel]

Есть известная задача: пусть неотрицательная функция $f\in C^2(\mathbb R)$ и $\sup_{\mathbb R}|f''|=M<\infty$. Доказать, что для всех $x$ справедливо неравенство $f'^2(x)\le 2Mf(x)$. Для этой задачи подсказка - рассмотреть функцию $f'^2/f$ на ...

[Bober2]

Vince Diesel в сообщении #1616625 писал(а):

Есть известная задача: пусть неотрицательная функция $f\in C^2(\mathbb R)$ и $\sup_{\mathbb R}|f''|=M<\infty$. Доказать, что для всех $x$ справедливо неравенство $f'^2(x)\le 2Mf(x)$. Для этой задачи подсказка - рассмотреть функцию $f'^2/f$ на ...

я написал тут чушь, не смотрите!

Тут разве не нужно каких-то дополнительных условий на $f(x)$ добавить? Я же могу рассмотреть следующую функцию $f(x)=1+\sin(x)$. Это гладкая неотрицательная функция. Её производная равна $f'(x)=\cos(x)$, а вторая производная $f. $\sup(|f. Получаем, что $f'(0)^2\le 2f(0)\Longrightarrow 1\le 2$

[KhAl]

Добрый день, уважаемый Бобёр 2!

Поскольку противоречие, на которое Вы указали, может быть неочевидно стороннему читателю, я запишу его явно.

Итак, получили, что $1 \leq 2$. Но с другой стороны, по известной теореме, $1=3>2$, откуда и получаем противоречие.

[abcd11]

утверждение верно для $f''\in L_{loc}^1(\mathbb{R})$

[Bober2]

Vince Diesel в сообщении #1616625 писал(а):

Есть известная задача: пусть неотрицательная функция $f\in C^2(\mathbb R)$ и $\sup_{\mathbb R}|f''|=M<\infty$. Доказать, что для всех $x$ справедливо неравенство $f'^2(x)\le 2Mf(x)$. Для этой задачи подсказка - рассмотреть функцию $f'^2/f$ на ...

А откуда эта задача? Я, просто, её раньше не встречал

[Vince Diesel]

Фольклор. Многомерный случай используется в монографии Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа при выводе неравенства Гординга. Но там доказательство без той подсказки, что я написал.

[Padawan]

Демидович 1393.3 - очень похожая задача.

[Bober2]

Vince Diesel в сообщении #1616861 писал(а):

Фольклор. Многомерный случай используется в монографии Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа при выводе неравенства Гординга. Но там доказательство без той подсказки, что я написал.

А подсказку "рассмотреть функцию $(f')^2/f$ " Вы дали для доказательства того, что $(f')^2\le Mf$, или для первоначальной задачи с помощью $(f')^2\le Mf$? Просто, в первом случае, как мне кажется, проще воспользоваться формулой Тейлора, а во втором, я пока не очень понял, как это поможет, т.к. $(f')^2/f$ не принадлежит $C^2$

[Vince Diesel]

Для первого. А для исходной - я не пробовал, но можно использовать на интервалах, где есть.

[Bober2]

Vince Diesel в сообщении #1617097 писал(а):

Для первого. А для исходной - я не пробовал, но можно использовать на интервалах, где есть.

Понятно. Просто, в доказательстве через ряд Тейлора, которое известно мне, было очень важно, что вторая производная на всём $\mathbb{R}$ ограниченна. В исходной задаче это, конечно же, может быть не так. Чтобы с этим бороться я хотел просто домножить вторую производную на шапочную функцию $\varphi(x)$, записать задачу Коши и получить новую функцию, которая локально в области содержащей данную точку будет совпадать с исходной, но при этом иметь ограниченную производную. У меня, вроде, даже получилось решить таким способом, но всё равно, такой ход мне кажется каким-то искусственным и недостаточно красивым. Всё-таки от олимпиадной задачи ожидается какое-то элегантное решение.

[KhAl]

Уважаемый Бобёр 2!

Вашу задачу решил.

Чтобы дать Вам возможность подумать, я скрою своё решение под так называемым "спойлером": у Вас будет возможность не видеть решения до тех пор, пока Вы не раскроете "спойлер" нажатием на него левой кнопкой мыши.

(Моё решение.)

Покажем, что для всякого $C$ найдётся $f$, удовлетворяющая условию, для которой $f'(0) = C$.
Действительно, пусть $\varepsilon > 0$.

$$f(x) = \begin{cases} Cx - \frac{C}{1+\varepsilon}x\cdot|x|^{\varepsilon} ,&\text{если $|x| \leqslant 1$;}\\ \frac{C\varepsilon}{1+\varepsilon}\operatorname{sgn} (x),&\text{если $|x| \geqslant 1$.} \end{cases}$$

Тогда

$$f'(x) = \begin{cases} C - C|x|^{\varepsilon} ,&\text{если $|x| \leqslant 1$;}\\ 0,&\text{если $|x| \geqslant 1$.} \end{cases}$$

$$f''(x) = \begin{cases} -C \varepsilon |x|^{\varepsilon}/x ,&\text{если $0 < |x| < 1$;}\\ 0,&\text{если $|x| > 1$.} \end{cases}$$

Легко проверить (но не мгновенно очевидно), что при $\varepsilon \to 0+$ будет $f(x) \to 0$ равномерно по $x$. Мгновенно очевидно (наверное), что $f(x) f''(x) \to 0$ равномерно по $x$. Значит, выбрав достаточно маленькое $\varepsilon$, добъёмся желаемого (точнее, той части желаемого, которая относится к задаче).

Дополнение: вероятно, от особенностей $f''$ можно избавиться, чуть-чуть пошевелив эту функцию. Но нужно следить, чтобы на концах отрезка (некоторого, уже не обязательно [-1;1]), значения $f'$ оставались нулями.

Дополнение к дополнению: дополнение специально написано максимально общо и размыто, чтобы придраться было не к чему.

[KhAl]

Нетривиальный вопрос: верно ли утверждение для аналитических функций?

[Bober2]

Встречный вопрос. Пусть $f(x)$ - аналитическая функция, а $\sum_{n=1}^ \infty a_n x^n$ - её ряд Тейлора в нуле. Пусть этот ряд сходится в любой точке $x$ к $f(x)$. Какие условия на коэффициенты $a_n$ будут достаточными и необходимыми для того, чтобы $f(x)$ была ограниченной